Estimations de la volatilité (rendements de la valeur actualisée logarithmique). Real Options Valuation Évaluateur d’options financières exotiques, MSLS, Créateur de treillis, Fonctions SLS, MNLS, Solution Excel SLS, SLS

PDF

Dokument

se produit dans trois mois différents au lieu de trois jours différents a des volatilités très différentes. Évidemment, s’il faut des jours pour doubler ou tripler la valeur de votre actif, cet actif est beaucoup plus volatile. Tous ces éléments doivent utiliser la même unité temporelle et

être annualisés. Enfin, l’équation stochastique de mouvement brownien a les valeurs

 

Ainsi, supposez que nous avons une option d’un an modélisée en utilisant un treillis à 12 étapes, alors



t est 1/12. si nous utilisons des données mensuelles, calculez la volatilité mensuelle et utilisez-la comme entrée ; cette volatilité mensuelle sera de nouveau divisée par 12 selon

 

Donc, nous devons d’abord annualiser la volatilité pour obtenir une volatilité annuelle (multipliée par la racine carrée de 12), entrer cette volatilité annuelle dans le modèle et laisser le modèle diviser la volatilité (multipliée par la racine carrée de 1/12) pour obtenir une volatilité périodique.

C’est pour cela que nous annualisons les volatilités à l’étape 5.

Estimations de la volatilité (rendements de la valeur actualisée logarithmique)

L’approche des rendements de la valeur actualisée logarithmique pour estimer la volatilité réunit toutes les estimations de flux monétaires futures en deux sommes de valeurs actualisées, une pour la première période et une autre pour le présent (figure B3). Les étapes sont illustrées ci-dessous. Les calculs supposent un taux d’actualisation constant. Les flux monétaires sont actualisés jusqu’au moment 0 et à nouveau jusqu’au moment 1, avec les flux monétaires dans le moment 0 ignorés (coût irrécupérable). On calcule ensuite la somme des valeurs, puis le rapport logarithmique suivant :

 ln













VAFM i n





VAFM







 où VAFM est la valeur actualisée des flux monétaires futurs à différentes périodes i.

Cette approche est plus appropriée pour les options réelles, où les flux monétaires d’actifs et de projets réels sont calculés et leur volatilité correspondante est estimée. Elle est applicable aux flux monétaires de projet et d’actif, et peut se contenter de moins de points de données. Cependant, cette approche nécessite l’utilisation de la simulation de Monte Carlo pour obtenir une estimation de la volatilité. Cette approche réduit les risques de mesure de flux monétaires auto-corrélées et de flux monétaires négatifs.

Manuel d’utilisation 120 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Période

Flux monétaires

Valeur actualisée au moment 0 Valeur actualisée au moment 1

( 1

$ 100



0 .

1 )



$ 100 .

0 $100

1 $125

2 $95

3 $105

( 1

$ 125



0 .

1 )

$ 95

0 .

1 )

$ 105

0 .

1 )



$ 113 .

$ 78 .

( 1

$ 125



0 .

1 )

$ 95

0 .

1 )

$ 105

0 .

1 )

─



$ 125 .

$ 86 .

4 $155

5 $146

SOMME

( 1

$ 155



0 .

1 ) 4

$ 146

0 .

1 )



$ 105 .

$ 90 .

( 1

$ 155



0 .

1 ) 3

$ 146

0 .

1 )



$ 116 .

$ 99 .

$567.56 $514.31

Figure B3 – Approche de la valeur actualisée logarithmique

Dans l’exemple ci-dessus, X est simplement ln($514.31/$567.56) = –0.0985. En utilisant cette valeur X intermédiaire, effectuez une simulation de Monte Carlo sur le modèle de flux monétaires actualisés (simulant ainsi les flux monétaires individuels) et obtenez la distribution de prévision résultante de X. Comme expliqué précédemment, l’écart type échantillon de la distribution de prévision de X est l’estimation de la volatilité utilisée dans l’analyse des options réelles. Il est important de noter que seul

le numérateur est simulé alors que le dénominateur reste inchangé.

L’inconvénient de cette approche pour estimer la volatilité est qu’elle nécessite la simulation de

Monte Carlo, mais la mesure de la volatilité calculée est une estimation à un seul nombre, contrairement à l’approche de flux monétaires ou de prix des actions

logarithmique, qui produit une distribution de volatilités, qui à son tour produit une distribution de valeurs d’options réelles calculées.

Le plus gros problème de cette méthode est sa dépendance vis-à-vis de la variabilité du taux d’actualisation utilisé. Par exemple, nous pouvons étendre l’équation X de la façon suivante :

 ln







i i n









VAFM

VAFM i i







 ln









( 1



)

( 1



)



( 1



)

( 1



)



( 1



)

( 1



)



...



...



( 1



)



( 1



)





 où A représente le taux d’actualisation constant utilisé. Nous voyons ici que la série de flux monétaires

FM pour le numérateur est décalé d’une période, ainsi que les facteurs d’actualisation. Donc, en effectuant une simulation de Monte Carlo sur les flux monétaires seuls au lieu d’effectuer une simulation de Monte Carlo simulation sur les flux monétaires et le taux d’actualisation, on obtiendra des valeurs X très différentes. L’inconvénient principal de cette approche est que, dans une analyse d’options réelles, la variabilité de la valeur actualisée des flux monétaires est le facteur principal de la valeur de l’option et non la variabilité des taux d’actualisation utilisés dans l’analyse. Les modifications de cette méthode impliquent la duplication des flux monétaires et la simulation des flux monétaires numérateurs uniquement, ce qui fournit donc des valeurs de numérateurs différentes mais une valeur de dénominateur statique pour chaque essai simulé, tout en maintenant le taux d’actualisation constant. En fait, si vous exécutez cette approche, il peut être conseillé de définir le taux d’actualisation comme un taux hors risque

Manuel d’utilisation 121 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

statique, de simuler les flux monétaires actualisés et d’obtenir la volatilité, puis de réinitialiser la valeur d’origine du taux d’actualisation.

La figure B4 illustre un exemple de la façon dont cette approche peut facilement être implémentée dans Excel. Pour suivre, ouvrez l’exemple de fichier : Volatility Computations (Calculs de

la volatilité) et sélectionnez l’onglet Log Present Value Approach (Approche de la valeur actualisée

logarithmique). L’exemple montre un échantillon de modèle de flux monétaires actualisés où les flux monétaires (ligne 46) et les coûts d’implémentation (ligne 48) sont calculés séparément. Il y a plusieurs raisons à cela. La première est de séparer les risques du marché (recettes et frais d’exploitation associés) des risques privés (coût d’implémentation)––bien sûr, uniquement s’il est logique de les séparer, comme il existe des situations où le coût d’implémentation est aussi affecté par les risques du marché. Ici, nous supposons que le coût d’implémentation n’est affecté que par les risques privés et sera actualisé à un taux hors risque ou au coût proche du taux de rendement hors risque, afin de l’actualiser pour la valeur temporelle de l’argent. Les flux monétaires au risque du marché sont actualisés à un taux de rendement ajusté au risque du marché (ce qui peut aussi être vu comme actualisés à un taux hors risque de 5 % pour prendre en compte la valeur temporelle de l’argent, et actualisés à niveau à un taux de risque du marché de 10 % pour le risque, ou actualisés une seule fois à un taux de 15 %). Comme discuté dans le chapitre 2, si vous ne séparez pas les risques privés et du marché, vous actualisez considérablement les risques privés et rendez les flux monétaires actualisés beaucoup plus rentables qu’ils ne le sont vraiment (c.-à-d. si les coûts qui devraient être annualisés à 5 % sont annualisés à 15 %, la valeur actualisée nette est

« gonflée »). En actualisant séparément ces flux monétaires, la valeur actualisée des flux monétaires et les coûts d’implémentation peuvent être calculés (cellules H9 et H10). La différence sera bien sûr la valeur actualisée nette (VAN). Ici, la séparation est également très importante car à partir de l’équation de Black-

Scholes ci-dessous, l’option d’achat est calculée comme la valeur actualisée de bénéfices nets actualisés à un taux de rendement ajusté aux risques ou le prix de début de l’action (S) multiplié par la distribution de probabilités normale standard (



 moins les coûts d’implémentation ou le prix d’exercice (X) actualisé au

taux hors risque et ajusté par une autre distribution de probabilités normale standard (



). Si la volatilité

(



) est zéro, l’incertitude est zéro, et



est égal à 100 % (la valeur entre parenthèses est l’infinité, ce qui signifie que la valeur de la distribution normale standard est 100 % ; vous pouvez aussi indiquer qu’avec zéro incertitudes, vous avez une certitude de 100 %). En séparant les flux monétaires, vous pouvez alors les utiliser comme entrées dans le modèle d’options, que vous utilisiez des treillis binomiaux ou Black-

Scholes.

Achat









 ln(

)





(





/ 2 )















 ln(

)



(







/ 2 )







Poursuivons l’exemple de la figure B4. Les calculs qui nous intéressent se trouvent aux lignes 51

à 55. La ligne 51 montre les valeurs actualisées des flux monétaires à l’année 0 (assumez que l’année de référence est 2002), et la ligne 52 montrent les valeurs actualisées des flux monétaires à l’année 1, ignorant les coûts irrécupérables de l’année 0. Ces deux lignes sont calculées dans Excel et sont des formules liées. Vous devez alors copier et coller les valeurs uniquement dans la ligne 53 (utilisez la fonction Edition | Collage spécial | Valeurs seulement d’Excel). Puis calculez la variable X intermédiaire dans la cellule D54 en utilisant la formule Excel suivante : LN(SUM(E52:H52)/SUM(D53:H53)). Ensuite, simulez ce modèle de flux monétaires actualisés avec le Simulateur de risques en affectant les suppositions d’entrée pertinentes dans le modèle et définissant cette valeur X intermédiaire comme prévision de sortie. L’écart type par rapport à ce X est la volatilité périodique. L’annualisation de la volatilité est requise, en multipliant la volatilité périodique par la racine carrée du nombre de périodes dans une année.

Manuel d’utilisation 122 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Figure B4 – Approche de la valeur actualisée logarithmique

Maintenant que vous comprenez les mécanismes du calcul des volatilités avec cette approche, nous devons expliquer pourquoi nous avons fait ce que nous avons fait. Comprendre les mécanismes ne suffit pas pour justifier l’approche ou expliquer la logique de l’analyse choisie. Penchons-nous donc sur

Étape 1 : Calculez les valeurs actualisées aux moments 0 et 1 et faites-en la somme. Le prix de l’action théorique est la somme des valeurs actualisées de tous les dividendes futurs (pour les actions sans dividendes, nous utilisons des portefeuilles répliquant le marché et des données comparables), et les fonds pour payer ces dividendes sont obtenus des bénéfices nets et des flux monétaires libres de l’entreprise. La valeur théorique d’un projet ou d’un actif est la somme de la valeur actualisée de tous les flux monétaires libre futurs ou bénéfices nets. Donc, le prix d’une action est équivalent au prix ou à la valeur d’un actif, la valeur actualisée nette (VAN). Ainsi, la somme des valeurs actualisées au moment 0 est équivalente au prix de l’action de l’actif au moment 0, la valeur aujourd’hui. La somme de la valeur actualisée des flux monétaires au moment 1 est équivalente au prix de l’action au moment 1, ou une bonne valeur de substitution pour le prix de l’action dans le futur. Nous utilisons ceci comme valeur de substitution car dans la plupart des modèles de flux monétaires actualisés, les prévisions de flux monétaires ne sont que quelques périodes. Ainsi, en exécutant une simulation de Monte Carlo, nous changeons toutes les possibilités futures et capturons les incertitudes dans les entrées de flux monétaires actualisés. Ce prix de l’action futur est donc une bonne valeur de substitution pour ce qui peut arriver au jeu futur de flux monétaires––n’oubliez pas que la somme de la valeur actualisée des flux monétaires futurs au moment 1 incluait dans ses calculs tous les flux monétaires futurs des flux monétaires actualisés, capturant ainsi les fluctuations et incertitudes futures. C’est pour cela que nous

Manuel d’utilisation 123 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

effectuons l’étape 1 quand nous calculons les volatilités en utilisant l’approche des rendements de valeur actualisée logarithmique.

Étape 2 : Calculez la variable X intermédiaire. Cette variable X est identique aux rendements relatifs logarithmiques de l’approche des rendements de flux monétaires logarithmiques. Il s’agit simplement du logarithme naturel des rendements relatifs du prix de l’action futur (en utilisant la somme des valeurs actualisées au moment 1 comme valeur de substitution) à partir du prix de l’action actuel (la somme des valeurs actualisées au moment 0). Nous définissons ensuite la somme des valeurs actualisées au moment 0 comme étant statique car il s’agit du cas de référence et par définition, les valeurs d’un cas de référence ne changent pas. On peut voir le cas de référence comme la valeur actualisée nette des bénéfices nets du projet et on suppose qu’il s’agit de la meilleure estimation de la valeur des bénéfices nets du projet. C’est le futur qui est incertain et fluctue, nous simulons donc le modèle de flux monétaires actualisés et permettons au numérateur de la variable X de changer pendant la simulation tout en maintenant le dénominateur statique comme cas de référence.

Étape 3 : Simulez le modèle et obtenez l’écart type comme volatilité. Cette approche nécessite que le modèle soit simulé. C’est logique car si le modèle n’est pas simulé, il n’y a pas d’incertitudes dans le projet ou dans l’actif et donc la volatilité est égale à zéro. On n’exécute une simulation que s’il y a des incertitudes, vous obtenez donc une estimation de la volatilité. La logique derrière l’utilisation de l’écart type échantillon comme volatilité est similaire à celle de l’approche de rendements de flux monétaires logarithmiques. Si les sommes des valeurs actualisées des flux monétaires fluctuent entre valeurs positives et négatives pendant la simulation, vous pouvez encore faire passer le modèle de flux monétaires actualisés à l’utilisation d’éléments comme bénéfices d’exploitation (EBITDA) et les bénéfices nets en tant que variables de substitution pour calculer la volatilité.

Une autre façon da calculer l’estimation de la volatilité est de combiner les deux approches s’il existe suffisamment de données. C’est-à-dire qu’à partir de flux monétaires actualisés avec de nombreuses estimations de flux monétaires, vous calculez les flux monétaires de la valeur actualisée pour les périodes 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite. Puis vous calculez le logarithme naturel des rendements relatifs de ces flux monétaires de valeur actualisée. L’écart type est ensuite annualisé pour obtenir la volatilité. Il s’agit de la meilleure méthode et ne nécessite pas de simulation de Monte Carlo, mais l’inconvénient est qu’elle nécessite une série de prévisions de flux monétaires plus longue.

Approche GARCH

Une autre approche est le modèle GARCH (hétéroscédasticité conditionnelle auto-régressive généralisée), qui peut être utilisé pour estimer la volatilité de toutes données de séries chronologiques. Les modèles

GARCH sont principalement utilisés pour l’analyse de données de séries chronologiques financières, afin d’établir volatilités et variances conditionnelles. Ces volatilités sont ensuite utilisées pour évaluer les options comme à l’accoutumée, mais la quantité de données historiques pour une bonne estimation de la volatilité demeure importante. En général, plusieurs dizaines––voire des centaines––de points de données sont nécessaires pour obtenir de bonnes estimations GARCH. En outre, les modèles GARCH sont très difficiles à exécuter et interpréter et nécessitent d’excellentes connaissances des techniques de modélisation économétrique. Le terme GARCH incorpore une famille de modèles qui peuvent prendre diverses formes, appelées GARCH(p,q), où p et q sont des entiers positifs qui définissent le modèle

GARCH résultant et ses prévisions.

Manuel d’utilisation 124 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Par exemple, un modèle GARCH (1,1) prend la forme

y t



x t

























1 où la variable dépendante de la première équation (y

terme d’erreur (



dépend d’une variable historique (



) est une fonction de variables exogènes (x

) avec un

). La deuxième équation estime la variance (volatilité au carré





) au moment t, qui

), des informations sur la volatilité de la période précédente, mesurée comme un décalage du résidu au carré de l’équation moyenne ( précédente (



t-1





t-1



), et de la volatilité de la période

). La spécification de modélisation exacte d’un modèle GARCH sort du domaine de ce manuel et n’y est pas couverte. Il suffit de dire que des connaissances approfondies de la modélisation

économétrique (tests de spécification de modèle, ruptures structurelles et estimation des erreurs) sont nécessaires pour exécuter un modèle GARCH, ce qui le rend moins accessible à un analyste général.

L’autre problème que posent les modèles GARCH est que le modèle ne fournit généralement pas un bon ajustement statistique. C’est-à-dire qu’il est impossible de prédire par exemple la bourse, et tout aussi difficile, si ce n’est plus, de prédire la volatilité d’une action dans le temps. La figure B5 illustre un modèle GARCH (1,2) pour les prix de l’action Microsoft historiques.

Manuel d’utilisation

Figure B5 – Exemple de résultats GARCH

125 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Approche des suppositions de la direction

Une approche plus simple est l’utilisation des suppositions de la direction. Cette approche permet à la direction d’obtenir une estimation de la volatilité grossière sans effectuer d’analyse plus longue. Cette approche est également très efficace pour apprendre à la direction ce qu’est la volatilité et comment elle fonctionne. Mathématiquement et statistiquement, la largeur ou le risque d’une variable peut être mesuré par le biais de plusieurs statistiques différentes, notamment la portée, l’écart type (



), la variance, le coefficient de variation et les percentiles. La figure B6 illustre les prix historiques de deux actions différentes. L’action illustrée par la ligne rouge foncé en gras illustrée est moins volatile que l’action illustrée par ligne bleue en pointillés. Les données de séries chronologiques de ces deux actions peuvent

être retracées sous la forme d’une distribution de probabilités comme l’illustre la figure B7. Bien que la valeur attendue des deux actions soit similaire, leurs volatilités et donc leurs risques sont différents.

L’axe x représente le prix des actions et l’axe y la fréquence d’occurrence d’un prix d’action particulier ; la zone sous la courbe (entre les deux valeurs) est la probabilité d’occurrence. La deuxième action (ligne bleue en pointillés sur la figure B6) a une dispersion plus large (un écart type



plus important) que la première action (ligne rouge foncé en gras sur la figure B6). La largeur de l’axe x de la figure B7 est identique à celle de l’axe y de la figure B6. Une mesure courante de la largeur est l’écart type. L’écart type est donc une façon de mesurer la volatilité. Le terme volatilité est utilisé, et non le terme écart type, car la volatilité calculée ne l’est pas à partir des flux monétaires bruts ou des prix des actions eux-mêmes, mais à partir du logarithme naturel des rendements relatifs de ces flux monétaires ou prix des actions. Le terme volatilité permet donc de la différentier d’un écart type standard.

Prix des actions

Manuel d’utilisation

Figure B6 : Volatilité

Temps

126 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Fréquence



Probabilité (zone sous la courbe)



Figure B7 : Écart type

Prix actions

Cependant, afin d’expliquer la volatilité à la direction, nous atténuons cette différence terminologique et à un niveau très élevé, déclarons qu’il s’agit de la même chose. Nous pouvons donc effectuer des suppositions de la direction pour estimer les volatilités. Par exemple, en commençant avec une valeur actualisée nette attendue (la valeur moyenne), vous pouvez obtenir une valeur actualisée nette alternative avec sa probabilité, et ainsi obtenir une volatilité approximative. Par exemple, supposons que la valeur actualisée nette d’un projet attendue est de $100M. La direction suppose en plus que dans le meilleur des cas, elle dépassera $150M si tout se passe très bien, et qu’il y a une probabilité de 10 % que ce meilleur des cas se produise. La figure B8 illustre cette situation. Si pour simplifier les choses, nous supposons que la valeur de l’actif sous-jacent fluctuera dans une distribution normale, nous pouvons calculer la volatilité implicite en utilisant l’équation suivante :

Volatilité



ValeurPerc entile

Inverse Percentile





Moyenne

Par exemple, nous calculons la volatilité de ce projet comme suit :

Volatilité



$ 150

Inverse



$ 100

( 0 .

90 )



$ 100



$ 50

1 .

2815



$ 100



39 .

02 % où l’inverse du percentile peut être obtenu en utilisant la fonction NORMSINV(0.9) d’Excel.

Semblablement, si le pire des cas avec une probabilité d’occurrence de 10 % produit une valeur actualisée nette de $50M, nous calculons la volatilité comme suit :

Volatilité



$ 50

Inverse

( 0 .



10 )

100



100





1 .



2815



$ 100



39 .

02 %

Manuel d’utilisation 127 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Fréquence

Meilleur des cas

$150M

Probabilité de 10 %

VAN du projet

VAN attendue

$100M

ème

percentile

Figure B8 : Conversion de la probabilité en volatilité

Cela implique que la volatilité soit une valeur symétrique. C’est-à-dire qu’à une valeur actualisée nette

(VAN) attendue de $100M, une augmentation de 50 % équivaut à $150M et une diminution de 50 %

équivaut à $50M. Et comme la distribution normale est supposée comme étant la distribution sousjacente, cette symétrie est parfaitement logique. Donc maintenant, en utilisant cette approche simple, si vous obtenez une estimation de la volatilité de 39,02 %, vous pouvez l’expliquer à la direction en disant que cette volatilité équivaut à dire qu’il y a une probabilité de 10 % que la VAN dépasse $150M. Par le biais de cette analyse simple, vous avez converti la probabilité en volatilité en utilisant l’équation cidessus, où la volatilité est beaucoup plus facile à comprendre pour la direction. Inversement, si vous modélisez cela dans Excel, vous pouvez reconvertir la volatilité en probabilité. Les figures B9 et B10 illustrent cette approche. Ouvrez l’exemple de fichier Volatility Estimates (Estimations de la volatilité) et sélectionnez l’onglet Volatility to Probability (Volatilité vers probabilité) pour suivre l’exemple.

Manuel d’utilisation

Figure B9: Modèle Excel de conversion de la probabilité en volatilité

128 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Figure B10: Modèle Excel de conversion de la volatilité en probabilité

La figure B9 vous permet de saisir la VAN attendue et les valeurs alternatives (meilleur cas et pire cas) ainsi que les percentiles correspondants. C’est-à-dire qu’étant donné une certaine probabilité et sa valeur, nous pouvons imputer la volatilité. Inversement, la figure B10 montre comment vous pouvez utiliser la fonction Valeur cible d’Excel (cliquez sur Outils | Valeur cible dans Excel) pour trouver la probabilité à partir d’une volatilité. Par exemple, supposons que la VAN attendue du projet est $100M, une volatilité de 35 % implique que 90 % du temps, la VAN sera inférieure à $144.85M, et que seulement

10 % du temps la VAN réelle dépassera cette valeur (meilleur cas).

Supposition 1 : Nous supposons que la distribution sous-jacente des fluctuations de l’actif est normale.

Nous pouvons supposer la normalité car la distribution des nœuds finaux sur un super treillis est normalement distribuée. En fait, l’équation de mouvement brownien illustrée précédemment nécessite une distribution normale standard aléatoire (



). En outre, beaucoup de distributions convergeront vers la distribution normale de toute façon (une distribution binomiale devient normalement distribuée quand le nombre d’essais augmente ; une distribution de Poisson devient également normalement distribuée avec un taux moyen élevé ; une distribution triangulaire est une distribution normale avec des valeurs inférieure et supérieure tronquées ; etc.) et il n’est pas possible de déterminer la forme et le type de la distribution de la VAN finale si le modèle de flux monétaires actualisés est simulé avec de nombreux types de distributions différents (par ex. les recettes sont distribuées de façon lognormale et négativement corrélées entre elles dans le temps alors que les frais d’exploitation sont corrélés positivement aux recettes mais sont supposés être distribués suivant une distribution triangulaire, alors que les effets de la concurrence du marché sont simulés en utilisant une distribution de Poisson avec un petit taux multiplié par la probabilité de succès technique simulée comme une distribution binomiale). Nous ne pouvons pas déterminer théoriquement ce que serait une distribution lognormale moins une distribution triangulaire multipliée par une distribution de Poisson et une distribution binomiale, après avoir pris ces corrélations en compte. À la place, nous nous appuyons sur le théorème de la limite centrale et supposons que le résultat final est normalement distribué, surtout si un grand nombre d’essais est utilisé dans les

Manuel d’utilisation 129 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

simulations. Enfin, nous sommes intéressés par la volatilité des rendements relatifs logarithmiques, pas l’écart type des prix d’actions ou flux actualisés réels. Les prix d’actions et flux actualisés sont généralement distribués de façon lognormale (les prix d’actions ne peuvent pas chuter en-dessous de zéro) mais les logarithmes des rendements relatifs sont toujours normalement distribués. En fait, ceci est illustré aux figures B11 et B12, où les prix historiques de l’action Microsoft de mars 1986 à décembre 2004 sont tabulés.

Supposition 2 : Nous supposons que l’écart type est identique à la volatilité. À nouveau, en se référant à la figure B12 et en utilisant le tableau des rendements attendus, la moyenne est calculée à 0,58 %, le

ème

percentile est 8,60 %, et la volatilité implicite est de 37 %. En utilisant les données téléchargées, nous calculons la volatilité empirique pour toute cette période à 36 %. Donc, le calcul est suffisamment proche pour que nous puissions utiliser cette approche pour les discussions avec la direction. C’est pour cela que la supposition de normalité et l’utilisation d’un écart type standard comme valeur de substitution sont suffisantes.

Supposition 3 : Nous avons utilisé un calcul normal standard pour imputer la volatilité. Comme nous supposons que la distribution sous-jacente est normale, nous pouvons calculer la volatilité en utilisant la distribution normale standard. Le score Z de la distribution normale standard est tel que :









cela signifie que









et comme nous normalisons la volatilité sous la forme d’un pourcentage (



*), nous la divisons par la moyenne pour obtenir :









En termes simples, nous avons :

Volatilité



ValeurPerc entile



Moyenne

Inverse Percentile



Moyenne

Là encore, l’inverse du percentile est obtenu en utilisant la fonction Excel : NORMSINV.

Manuel d’utilisation 130 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

Distribution of Microsoft Stock Prices

350

300

250

200

150

100

Bin

Figure B11 : Distribution de probabilités du prix de l’action Microsoft (depuis 1986)

Distribution of Microsoft Stock Log Returns

250

200

150

100

Log Returns

Figure B12 : Distribution de probabilités des rendements relatifs logarithmiques de l’action Microsoft

Approche des données de substitution

Une méthode souvent utilisée (et souvent trop utilisée ou mal utilisée) pour l’estimation de la volatilité s’applique aux données du marché disponibles pour le public. C’est-à-dire pour un projet particulier à l’étude, un jeu de prix d’actions émises dans le public d’entreprises comparables est utilisé. Ces entreprises doivent avoir des fonctions, marchés, risques et emplacements géographiques similaires à ceux du projet à l’étude. Puis, en utilisant les prix d’actions de clôture, l’écart type des logarithmes naturels des rendements relatifs est calculé. La méthodologie est identique à celle utilisée dans l’approche du logarithme des rendements de flux actualisés que nous avons abordée précédemment. Le problème de

Manuel d’utilisation 131 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver

cette méthode est la supposition que les risques inhérents d’entreprises comparables sont identiques aux risques inhérents au projet spécifique qui est à l’étude. En effet, le prix de l’action d’une entreprise est sujet aux réactions excessives et à la psychologie des investisseurs sur le marché boursier, ainsi qu’à d’innombrables autres variables exogènes qui ne sont pas pertinentes pour l’estimation des risques du projet. En outre, l’évaluation du marché d’une grande entreprise dépend de plusieurs projets interdépendants et diversifiés. Enfin, les entreprises sont sujettes à des facteurs d’endettement, ce qui n’est généralement pas le cas des projets spécifiques. Donc, la volatilité utilisée dans une analyse d’options réelles (



) doit être ajustée pour éliminer cet effet d’endettement en divisant la volatilité en prix de l’action ( avons







EQUITY

) par (1+D/E), où D/E est le ratio d’endettement de l’entreprise. C’est-à-dire nous



Cette approche peut être utilisée s’il existe des valeurs comparables sur le marché, comme des indices du secteur ou de l’industrie. Il est incorrect de dire que le risque d’un projet tel que mesuré par l’estimation de la volatilité est identique à l’ensemble de l’industrie, du secteur ou au marché. Il y a de nombreuses interactions sur le marché, telle que la diversification, les problèmes de réaction excessive et de commerciabilité, auquel un seul projet au sein d’une entreprise n’est pas exposé. Il faut choisir les valeurs comparables avec le plus grand soin, car le principal inconvénient de cette approche est qu’il est parfois difficile de trouver les bonnes entreprises comparables et que les résultats peuvent être extrêmement manipulés en incluant ou excluant subjectivement certaines entreprises. L’avantage de cette approche est sa simplicité d’utilisation––elle utilise des moyennes de l’industrie et peu voire aucun calcul.

Manuel d’utilisation 132 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver