Annexe A : Convergence des treillis
Plus le nombre d’étapes de treillis est élevé, plus les résultats sont précis. La figure A1 illustre la convergence des résultats obtenus en utilisant un modèle de Black-Scholes à forme fermée sur une option d’achat européenne sans dividendes, et en comparant les résultats au treillis binomial élémentaire. La convergence est généralement atteinte entre 500 et 1 000 étapes. Du fait du nombre élevé d’étapes requis pour générer les résultats, des algorithmes mathématiques basés sur le logiciel sont utilisés.
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Par exemple, un treillis binomial sans recombinaison avec 1 000 étapes a un total de 2 x 10
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calculs nodaux à effectuer, rendant tout calcul manuel impossible sans l’utilisation d’algorithmes spécialisés.
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La figure A1 illustre également les résultats du treillis binomial avec différentes étapes et note la convergence du treillis binomial pour une option d’achat européenne simple en utilisant le modèle de Black-Scholes.
Convergence in Binomial Lattice Steps
$17.20
$17.10
$17.00
$16.90
$16.80
$16.70
$16.60
$16.50
1
Black-Scholes
10 100 1000 10000
Lattice Steps
Treillis binomial à 5 étapes :
Treillis binomial à 10 étapes :
Treillis binomial à 20 étapes :
$12,795
$12,093
$12,213
Treillis binomial à 50 étapes : $12,287
Treillis binomial à 100 étapes : $12,313
Treillis binomial à 1 000 étapes : $12,336
Figure A1 – Convergence des résultats du treillis binomial pour des solutions à forme fermée
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Cet algorithme exclusif a été développé par le Dr. Johnathan Mun d’après ses travaux analytiques avec le FASB en 2003-2004, ses livres « Valuing Employee Stock Options Under the 2004 FAS 123 Requirements » (Wiley, 2004), « Real Options Analysis:
Tools and Techniques » (Wiley, 2002), « Real Options Analysis Course » (Wiley, 2003), « Applied Risk Analysis: Moving
Beyond Uncertainty » (Wiley, 2003), la création de ses logiciels, « Real Options Analysis Toolkit » (versions 1.0 et 2.0), des recherches universitaires et son expérience antérieure du conseil en évaluation chez KPMG Consulting.
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Un treillis binomial sans recombinaison bifurque (se divise en deux) à chacune de ses étapes, donc en commençant avec une valeur, il passe à deux valeurs à la première étape (2 et ainsi de suite, jusqu’à la 1 000
ème
étape (2
1000
1
), puis à quatre à la deuxième étape (2
2
), puis à huit à la troisième étape (2
3
ou plus de 10
301
)
valeurs à calculer… Le super ordinateur le plus rapide au monde ne pourra pas calculer les résultats de notre vivant).
Manuel d’utilisation 113 Manuel d’utilisation du logiciel Real Options Super Lattice Solver
