Comment fonctionne HOMARD ?. EDF R&D HOMARD
EDF R&D
Logiciel HOMARD - Volume 1 - Présentation générale
H-I23-2008-04107-FR
Version 1.0
Pour faire bénéficier de ces techniques ses principaux logiciels, EDF R&D a lancé en 1993 le développement de HOMARD, logiciel de raffinement et de déraffinement de maillages bidimensionnels et tridimensionnels. Ce document constitue le premier volume de la documentation de HOMARD. Il présente le domaine de validité du logiciel en l’illustrant par des exemples issus des cas-tests de HOMARD ou de calculs réalisés en couplage avec Code_Aster.
Pour comprendre l’intérieur de HOMARD, il faut joindre à ce texte tous les autres documents explicatifs de la réalisation du logiciel :
•
le volume 2 présente les algorithmes de raffinement et déraffinement [Réf. 0]
•
le volume 3 décrit les interfaces avec les codes de calcul [Réf. 2]
•
le volume 4 décrit les structures de données [Réf. 3]
On trouvera des conseils pour l’adaptation de maillage avec HOMARD dans le document [Réf. 5].
Pour en savoir davantage sur l’utilisation de HOMARD, il est judicieux de consulter le site web qui lui est consacré : www.code-aster.org/outils/homard
. On y trouve des explications techniques et des exemples d’adaptation.
2. Comment fonctionne HOMARD ?
Plusieurs motivations apparaissent pour adapter un maillage :
• le maillage est très compliqué à réaliser : on part d’une version simple et on confie à un processus automatique la charge de l’affiner.
• on veut s’assurer de la convergence de la solution numérique : plutôt que de réaliser à la main des maillages de plus en plus fins, on laisse le logiciel chercher lui-même les endroits où il faudrait affiner le maillage pour augmenter la précision du résultat.
• les conditions du calcul changent au cours de son déroulement : les zones qui doivent être maillées finement se déplacent. Si on maille fin partout dès le début, le maillage est trop gros. En adaptant au fur et à mesure, le maillage ne sera fin qu’aux endroits nécessaires : sa taille sera réduite et la qualité de la solution sera bonne.
Quels que soient les logiciels utilisés, le principe de l’adaptation de maillage reste le même. Sur le maillage de départ, on réalise le calcul standard. A partir d’une analyse de la solution numérique obtenue, on estime l’erreur qui a été commise par rapport à la solution réelle. Cette estimation se représente par une valeur d’indicateur d’erreur dans chaque maille du calcul. A partir de là, on applique le principe suivant : les mailles où l’indicateur d’erreur est fort devraient être plus petites et réciproquement, les mailles où l’indicateur d’erreur est faible pourraient être plus grandes. Avec cette information, on alimente le logiciel d’adaptation qui va modifier le maillage en conséquence. Sur le nouveau maillage, on recommencera alors le calcul.
Schématiquement, une itération d’adaptation de maillage se présente comme sur la figure ci-dessous.
Le logiciel calcule la solution numérique sur le maillage n°k, puis en déduit les valeurs de l’indicateur d’erreur sur tout le maillage. A partir de la connaissance du maillage n°k et de l’indicateur n°k,
HOMARD crée le nouveau maillage n°k+1.
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Figure 1 – Itération d’adaptation de maillage
Au final, la chaîne complète part du maillage initial produit par un mailleur. Elle comprend des maillons
successifs (calcul d’indicateur / adaptation) comme sur la figure ci-dessous.
Figure 2 – Chaîne d’adaptation de maillage
Pour un calcul statique, cela revient à chercher à améliorer la solution par une succession de calculs sur des maillages différents. Pour un calcul transitoire en temps, le calcul est suspendu à un instant donné ; le maillage est adapté ; le calcul reprend au même instant sur le nouveau maillage.
2.2. Le périmètre d’utilisation de HOMARD
HOMARD sait traiter des maillages en 2 ou 3 dimensions et comportant les mailles suivantes :
• mailles-points
• segments
• triangles
• quadrangles
• tétraèdres
• hexaèdres
• pentaèdres
Ces éléments peuvent être présents simultanément. Par exemple, HOMARD saura adapter un maillage comportant des triangles et des quadrangles. HOMARD produit des pyramides pour assurer la conformité du raffinement d’hexaèdres. En revanche, il ne sait pas adapter un maillage qui en contiendrait au départ.
Les nœuds acceptés sont évidemment les nœuds qui sont les sommets des éléments, ce qui correspond à la description classique « en degré 1 » . Si les éléments sont décrits « en degré 2 », les nœuds complémentaires sont gérés. Ces nœuds sont placés au milieu des arêtes. En revanche, il ne peut pas y avoir cohabitation d’éléments décrits en degré 1 et d’éléments décrits en degré 2. Enfin,
HOMARD sait prendre en compte des nœuds isolés, qui n’appartiendraient à aucune définition d’éléments : ils ressortiront tels quels du processus d’adaptation.
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Il y a possibilité de raffinement et de déraffinement. Déraffiner consiste à revenir en arrière sur des découpages qui ont eu lieu précédemment. On ne peut donc pas obtenir un maillage plus grossier que le maillage initial [voir paragraphe 3.3].
L’adaptation est pilotée par la fourniture d’un champ d’indicateurs d’erreurs sur le maillage. Ce champ peut être exprimé sur les nœuds ou les éléments. Le choix des seuils de raffinement ou de déraffinement se fait sous trois formes :
• une valeur d’erreur en absolu : on raffinera tous les éléments dont l’indicateur est supérieur à cette valeur
• une valeur d’erreur en relatif : on raffinera les éléments dont l’indicateur est supérieur à x% de l’erreur maximale
• une fraction d’éléments : on raffinera les x% d’éléments dont l’indicateur est le plus important
Le même principe s’applique au déraffinement.
On peut également piloter l’adaptation par zone : on raffinera toutes les mailles contenus dans un groupe par exemple, ou toutes les mailles dont deux sommets appartiennent à une zone géométrique précise.
Selon les types de problèmes, l’une ou l’autre des stratégies est préférable ; c’est le savoir-faire propre à chaque discipline qui permet de définir des bonnes pratiques. Il faut néanmoins être prudent et ne pas demander trop de raffinement quand on travaille avec des maillages conformes. En effet, le seuil va déclencher le raffinement obligatoire des éléments désignés. Mais pour assurer la conformité, il y aura nécessairement des raffinements supplémentaires pour relier les zones de différents niveaux.
Au final, on aura toujours plus d’éléments découpés que ceux qui avaient été demandés initialement.
L’expérience nous a montré qu’il est plus efficace pour la précision de la solution d’enchaîner 3 raffinements de suite en demandant de raffiner 1% des éléments plutôt que de ne faire qu’un seul raffinement en demandant 5%.
Le maillage peut être conforme au sens des éléments finis ou non conforme. On indique à HOMARD quel type utiliser et le maillage produit respectera ces contraintes [voir paragraphe 2.3.2].
En 2 dimensions, si une des frontières du domaine de calcul est courbe et qu’un élément touchant
cette frontière est raffiné, HOMARD saura placer les nouveaux nœuds sur le « vrai » bord [voir paragraphe 3.2]. En 3D, cette fonctionnalité n’est pas opérationnelle.
Les caractéristiques des éléments sont préservées : une maille qui est découpée transmet à ses fils
ses propriétés d’orientation ou d’appartenance à des sous-domaines.
Le maillage peut être connexe ou être formé de plusieurs morceaux disjoints. Il peut comporter des zones en équivalence pour modéliser des symétries de répétition : si le découpage vient à toucher un tel bord, son bord homologue sera découpé dans les mêmes conditions pour respecter la périodicité.
HOMARD met à jour des champs réels de l’ancien vers le nouveau maillage lorsqu’ils sont définis sur les nœuds ou constants par mailles. Cela permet au cours d’un calcul transitoire de repartir de la solution précédemment calculée mais exprimée sur le nouveau maillage. De manière générale, il est d’ailleurs recommandé de mettre à jour les champs via HOMARD plutôt que de les projeter d’un maillage sur l’autre ensuite dans le logiciel de calcul. En effet, HOMARD mémorise la filiation de tous les nœuds et mailles : il ne fera donc que les calculs strictement nécessaires et uniquement par des formules analytiques.
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Les maillages et les champs sont lus et écrits dans des fichiers respectant le standard MED [Réf. 4] .
Par ailleurs, HOMARD possède des fonctions d’analyse de maillage :
• connexité : le logiciel informe sur le nombre de blocs disjoints qui forment le maillage global.
• taille : calcul des tailles des différents sous-domaines 1D, 2D ou 3D.
• qualité : détermination de la qualité des éléments 2D ou 3D ; valeurs extrêmes et répartition
• interpénétration : contrôle du non recouvrement d’éléments
Ces fonctions sont activables au cours d’une adaptation. Elles peuvent aussi être utilisées hors de toute adaptation pour vérifier un maillage. Elles aident l’utilisateur à vérifier que son maillage est correct et à repérer des erreurs dans sa réalisation.
2.3. Les principes de base de HOMARD
Parmi les diverses techniques possibles pour adapter un maillage, nous avons retenu pour HOMARD le raffinement et déraffinement par découpage des éléments. Nous ne donnerons ici que les grandes lignes du processus. Pour en connaître davantage, et en particulier pour mieux appréhender les raisons des différents choix que nous avons faits, le lecteur consultera le rapport théorique [Réf. 0].
2.3.1. Les modes de découpage des mailles
Le découpage standard est celui qui s'applique à toute maille au cœur d'une zone à raffiner : un triangle est découpé en quatre triangles, un quadrangle est découpé en quatre quadrangles, un tétraèdre en huit tétraèdres. Chaque découpage prend appui sur les milieux des arêtes bordant l’élément.
Le découpage d’un triangle produit quatre triangles homothétiques :
Figure 3 – Découpage standard des triangles
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Le découpage en quatre d’un quadrangle prend appui sur les milieux des quatre arêtes. On insère ensuite un nœud au barycentre des quatre sommets du quadrangle. Sauf cas particuliers, les quadrangles fils ne sont pas homothétiques du père.
Figure 4 - Découpage standard des quadrangles
Le découpage en huit d’un tétraèdre est basé sur le découpage en quatre des quatre faces du tétraèdre. On crée ensuite les quatre faces qui coupent les angles.
Figure 5 - Découpage standard des tétraèdres - 1
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Cela permet d’isoler quatre tétraèdres d’angle, homothétiques du père, et un bloc interne formé de deux pyramides accolées par leur base carrée :
Figure 6 - Découpage standard des tétraèdres - 2
Ce bloc bi-pyramidal interne se découpe en quatre tétraèdres enroulés autour d’une de ses diagonales. Ces quatre tétraèdres ne sont jamais homothétiques du père.
Figure 7 - Découpage standard des tétraèdres - 3
Le découpage en huit d’un hexaèdre est basé sur le découpage en quatre des quatre faces de l’hexaèdre. On ajoute un nœud au centre de l’hexaèdre et on crée ensuite les faces intérieures.
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Figure 8 - Découpage standard des hexaèdres
Le découpage en huit d’un pentaèdre est basé sur le découpage en quatre des cinq faces du pentaèdre. On crée ensuite les faces intérieures.
Figure 9 - Découpage standard des pentaèdres
2.3.2. Comment gérer la conformité ?
Partons d’une situation comme celle de la figure ci-dessous représentant un maillage bidimensionnel
formé de quadrangles et de triangles. L’indicateur d’erreur aura demandé un raffinement sur les zones hachurées.
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Figure 10 – Exemple de demande de raffinement
La stricte application du principe de découpage des éléments désignés par l’indicateur d’erreur produit
Figure 11 – Exemple de raffinement non conforme brut
Si le logiciel de calcul associé fonctionne avec des maillages acceptant tous les types de non conformité sur les éléments, on peut s’arrêter à ce niveau. C’est la première option de pilotage de
HOMARD. Si le logiciel de calcul accepte des maillages avec au plus un point de non conformité, il
faut sélectionner l’option ad-hoc de HOMARD, ce qui produira le maillage ci-dessous :
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Figure 12 – Exemple de raffinement non conforme à 1 point
Enfin, si le logiciel de calcul associé ne fonctionne qu’avec des maillages conformes, il faut le signaler
à HOMARD, ce qui produira le maillage ci-dessous :
Figure 13 – Exemple de raffinement conforme
HOMARD sait donc traiter les trois types de raffinement : non-conforme brut, non-conforme avec au plus un point de non conformité par élément, conforme. Quand il y a une demande de maillage conforme, si on se contentait des seuls découpages standard, de proche en proche on serait conduit
à découper tout le maillage ! Il n’y aurait aucun intérêt à faire de l’adaptation. Il a fallu introduire des découpages spéciaux : les triangles sont découpés en deux triangles et les quadrangles sont découpés en trois triangles. De même, en 3D, les tétraèdres sont découpés en deux ou quatre tétraèdres et les hexaèdres en pyramides et tétraèdres.
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Figure 14 - Découpage de conformité des triangles
Figure 15 - Découpage de conformité des quadrangles en 3 triangles
Le découpage des tétraèdres est de 3 types selon que le tétraèdre est attaqué par une arête, deux arêtes en vis-à-vis ou une face.
Figure 16 - Découpage de conformité des tétraèdres – En 2
Figure 17 - Découpage de conformité des tétraèdres – En 2 fois 2
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Figure 18 - Découpage de conformité des tétraèdres – En 4 par une face
Le découpage des hexaèdres est de 4 types selon que l’hexaèdre est attaqué par une arête, deux arêtes en vis-à-vis, deux arêtes non en vis-à-vis ou une face.
Figure 19 – Découpage de conformité pour un hexaèdre par 1 arête – 4 pyramides
Figure 20 - Découpage de conformité pour un hexaèdre par 2 arêtes en vis-à-vis – 2 pyramides / 12 tétraèdres
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Figure 21 - Découpage de conformité pour un hexaèdre par 2 arêtes non en vis-à-vis –
2 pyramides / 12 tétraèdres
Figure 22 - Découpage de conformité pour un hexaèdre par 1 face – 5 pyramides / 4 tétraèdres
Un commentaire important est nécessaire à propos de ces découpages de mise en conformité. Il est flagrant qu’ils modifient la qualité des mailles. Un triangle équilatéral aura deux fils aplatis ; un tétraèdre régulier aura des fils effilés. Inversement un triangle aplati et coupé par son grand côté aura deux fils assez réguliers, et ainsi de suite. Nous avons donc des configurations qui sont favorables et d’autres qui le sont moins. Si nous ne faisons rien, nous courrons le risque de voir se dégrader la qualité du maillage. Imaginons en effet le cas d’une zone où les indications de raffinement conduiraient à subdiviser un triangle de mise en conformité. Au bout de quelques adaptations, la qualité du maillage serait grandement dégradée. HOMARD gère ces difficultés par un algorithme spécial qui garantit que les angles ne s’aplatissent pas au fil des itérations. Nous limitons ainsi les modifications du niveau de qualité du maillage : la qualité du maillage, à un niveau quelconque d’adaptation, reste comparable à la qualité du maillage de départ.
Très schématiquement, nous pouvons illustrer la mauvaise solution dans le cas de trois adaptations
successives par la figure ci-dessous :
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Figure 23 – Mauvaise méthode : aplatissement des angles
Alors que la bonne façon de procéder adoptée par HOMARD est illustrée ci-dessous. Via une gestion
appropriée des découpages de conformité successifs, on n’écrase jamais les mailles. Leur aplatissement est borné par les caractéristiques du maillage initial.
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