B Truchetet
LPP ALBERT DE MUN
Lois de probabilités
Sur une Casio de Type Graph 80
Loi Binomiale B(n ;p)
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n ;p) si l’expérience est répétée n fois de
manière aléatoire et indépendante, il y a 2 issues possibles : succès avec une
probabilité de réalisation de p, échec avec une probabilité de non réalisation q = 1-p.
La loi binomiale permet de donner la probabilité P d’obtenir k fois le même résultat
lorsque l’on répète n fois la même expérience.
Propriétés :
E(X) = n × p
V(X) = n × p × (1 − p)
P(X = k ) = C kn × p k × (1 − p) n − k
σ(X) = n × p × (1 − p)
Exemple 1 :
Une cible est posée sur un mur , elle a trois secteurs :
Le centre
L’extérieur
Le mur
La probabilité d’atteindre :
Le centre est de 0.1
L’extérieur est de 0.3
Le mur est de 0.6
a)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ?
b)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 5 fois le mur ?
c)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieur ?
Réponses :
a)
Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale
B(10 ;0.1) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues :
atteindre le centre avec une probabilité de 0.1 , ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0.9.
3
P(X = 3) = C10
× 0.13 × (1 − 0.1) 7 ≈ 0.057
En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057
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b)
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Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le mur. Cette VA suit la loi binomiale
B(10 ;0.6) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues :
atteindre le mur avec une probabilité de 0.6 , ne pas atteindre le mur avec une probabilité de 0.4.
5
P(X = 5) = C10
× 0.6 5 × (1 − 0.6) 5 ≈ 0.2
En 10 lancers la probabilité d’atteindre 5 fois le mur est de 0.2
c)
Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint l’extérieur. Cette VA suit la loi binomiale
B(10 ;0.3) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues :
atteindre l’extérieur avec une probabilité de 0.3 , ne pas atteindre l’extérieur avec une probabilité de 0.7.
0
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C10
× 0.30 × (1 − 0.3)10 ≈ 0.971
En 10 lancers la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieure est de 0.971
Enter dans le menu Stat
Entrer dans le sous-menu
probabilités
Entrer dans le menu
des lois de
de la loi Binomiale
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2 sous menus sont possibles
Sous menu
permet de calculer P(X= xi )
Cliquer sur
en vu d’obtenir
lorsque Data est surligné
Application
Supposons que X suive la loi Binomiale
B(50 ; 0.1)
Calculer P(X=2)
Valeur de la variable souhaitée
Nombre de répétitions
Probabilité
Cliquer sur
P(X=2)= 0.077942
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Sous menu
permet de calculer P(X ≤ xi )
Cliquer sur
en vu d’obtenir
lorsque Data est surligné
Application
Supposons que X suive la loi Binomiale
B(50 ; 0.1)
Calculer P(X ≤ 2)
Valeur de maximale de la variable souhaitée
Nombre de répétitions
Probabilité
Cliquer sur
P(X ≤ 2)=0.11172
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Retour à l’exemple 1 :
Une cible est posée sur un mur , elle a trois secteurs :
Le centre
L’extérieur
Le mur
La probabilité d’atteindre :
Le centre est de 0.1
L’extérieur est de 0.3
Le mur est de 0.6
a)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ?
b)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 5 fois le mur ?
c)
En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre au moins une fois l’extérieur ?
Réponses :
3
a) P(X = 3) = C10
× 0.13 × (1 − 0.1) 7 ≈ 0.057
5
b) P(X = 5) = C10
× 0.65 × (1 − 0.6) 5 ≈ 0.2
c)
0
× 0.30 × (1 − 0.3)10 ≈ 0.971
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − C10
Il est aussi possible d’utiliser l’éditeur de fonction et le menu TABLE de la calculatrice
Entrer dans le menu Table
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Si des fonctions sont présentes les effacer à
l’aide de la touche
Application
Supposons que X suive la loi Binomiale
B(50 ; 0.1)
Calculer P(X ≤ 6)
Entrer dans Y1 la fonction suivante
Pour obtenir cliquer sur la touche « OPTN »
de la machine puis entrer dans le menu Proba de
la machine
puis sur la touche
.
Il faut alors entrer la liste des valeurs entières
souhaitées.
Entrer dans le menu
.
Entrer le minimum puis le maximum des valeurs
entières souhaitées.
Laisser Pitch : 1
Puis cliquer sur « EXE »
Afficher le tableau de valeurs
en cliquant sur
Voici la liste des résultats
Par exemple P(x=2)=0.0779
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Loi de Poisson P(m) ou P( λ )
La loi de Poisson peut être considéré comme une extension de la loi binomiale, si les 3
conditions suivantes sont vérifiées :
n ≥ 30
p ≤ 0.1
n × p < 15
P(X = k ) =
m ×e
k!
k
Propriétés :
E(X) = m = n × p
V(X) = m = n × p
−m
rappel : m= n × p
σ( X ) = m = n × p
Exemple 2 :
La probabilité pour qu’il y ai une faute d’impression dans une page est de 0.01.Dans un
ouvrage de 500 pages , quelle est la probabilité pour qu’il y ai 10 fautes ?
pour qu’il y ai plus de 2 fautes ?
Réponses :
X la VA représentant le nombre de fautes par page suit la loi de Poisson P(5), en effet
l’expérience est répétée 500 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues
possibles succès il y a une faute dans une page avec une probabilité de 0.01, échec il n’y a
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pas de faute avec une probabilité de 0.99 de plus les 3 conditions pour passer à une loi de
Poisson sont vérifiées :
n ≥ 30
500 ≥ 30
p ≤ 0.1
en effet 0.01 ≤ 0.1
n × p < 15
5 < 15
510 × e −5
= 0.018
10!
La probabilité d’avoir 10 fautes dans l’ouvrage de 500 pages est de 0.018
•
P(X = 10) =
•
P(X > 2) = 1 − [P( x = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
après calcul nous trouvons P(X>2)=0.8754
Enter dans le menu Stat
Entrer dans le sous-menu
de probabilités
des lois
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Puis cliquer une fois sur
Puis entrer dans le menu
de Poisson.
de la loi
2 sous menus sont possibles
Sous menu
permet de calculer P(X= xi )
Cliquer sur
surligné
en vu d’obtenir
lorsque Data est
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Application
Supposons que X suive
la loi de Poisson P(5)
Calculer P(X=2)
Valeur de la variable souhaitée
Valeur de λ
Cliquer sur
P(X=2)= 0.084224
Sous menu
permet de calculer P(X ≤ xi )
Cliquer sur
surligné
en vu d’obtenir
lorsque Data est
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Application
Supposons que X suive
la loi de Poisson P(5)
Calculer P(X ≤ 2)
Valeur de la variable souhaitée
Valeur de λ
Cliquer sur
P(X ≤ 2)=0.12465
Retour à l’exemple 2 :
La probabilité pour qu’il y ai une faute d’impression dans une page est de 0.01.Dans un
ouvrage de 500 pages , quelle est la probabilité pour qu’il y ai 10 fautes ?
pour qu’il y ai plus de 2 fautes ?
Réponse 1
P(X = 10) =
510 × e −5
= 0.018
10!
La probabilité d’avoir 10 fautes dans
l’ouvrage de 500 pages est de 0.018
Réponse 2
P(X > 2) = 1 − [P( x = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
la probabilité pour qu’il y ai plus de 2
fautes est 0.88
Il est aussi possible d’utiliser l’éditeur de fonction et le menu TABLE de la calculatrice
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Entrer dans le menu Table
Si des fonctions sont présentes les effacer à
l’aide de la touche
Application
Supposons que X suive la loi Poisson
P(5)
Calculer P(X ≤ 6)
Entrer dans Y1 la fonction suivante
Pour obtenir cliquer sur la touche « OPTN »
de la machine puis entrer dans le menu Proba de
la machine
puis sur la touche.
Il faut alors entrer la liste des valeurs entières
souhaitées.
Entrer dans le menu
.
Entrer le minimum puis le maximum des valeurs
entières souhaitées.
Laisser Pitch : 1
Puis cliquer sur « EXE »
Afficher le tableau de valeurs
en cliquant sur
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Voici la liste des résultats
Par exemple P(x=3)=0.1403
La loi Normale
N (m;σ )
La loi Normale est l’un des exemples les plus important de la loi de probabilité continue
car de nombreux phénomènes ont des caractères qui se distribuent suivant la loi Normale.
La loi Normale se note son espérance mathématique est E(X)=m
son écart type est σ(X) = σ
b
P[a ≤ X ≤ b] = ∫ f ( x )dx est l’aire de la courbe représentative de la fonction f
a
comprise entre les valeurs a et b.
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Exemple 3 :
Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La
moyenne est de 12 et l’écart type est de 2.Calculer la probabilité pour qu’un étudiant
obtienne une note comprise entre 7 et 12.
Réponse :
X VA représentant la note de l’étudiant suit la loi Normale N(12 ;2)
Calculons P[7 ≤ X ≤ 12] .
Nous devons avant tout nous ramener à la loi Normale centré réduite N(0 ;1)
En posant T = X − M soit T = X − 12
σ
2
P[7 ≤ X ≤ 12] = P[ 7 − 12 ≤ X ≤ 12 − 12 ] = P[−2.5 ≤ T ≤ 0] =0.5-0.0062=0.49379
2
2
la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est de 0.4937
Enter dans le menu Stat
Entrer dans le sous-menu
probabilités
des lois de
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Entrer dans le menu
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de la loi normale
3 sous menus sont possibles
Sous menu
permet de calculer P( X 1 ≤ X ≤ X 2 )
X1
X2
σ
m
Application
X suit la loi normale N(5 ;2)
Calculer P( 3 ≤ X ≤ 7 )
Cliquer sur
P( 3 ≤ X ≤ 7 )=0.68268
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Sous menu
permet de calculer a tel que
P( X 1 ≤ a ) =aire
Aire (Area )
σ
m
Application
X suit la loi normale N(5 ;2)
Calculer a tel que P( X ≤ a )=0.05
Cliquer sur
a = 1.7102 pour que que P( X ≤ a )=0.05
Retour à l’exemple 3 :
Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La
moyenne est de 12 et l’écart type est de 2.Calculer la probabilité pour qu’un étudiant
obtienne une note comprise entre 7 et 12.
Réponse :
P[7 ≤ X ≤ 12] = P[ 7 − 12 ≤ X ≤ 12 − 12 ] = P[−2.5 ≤ T ≤ 0]
2
2
=0.5-0.0062=0.49379
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Il est aussi possible d’utiliser le sous menu PROBA de menu RUN
pour calculer des probabilités dans le cas d’une loi normale centrée réduite N (0;1)
Enter dans le menu Run
Cliquer sur la touche « OPTN » de la machine
Puis 1 fois sur la touche
Entrer dans le sous menu
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Cliquer à nouveau sur
Nous sommes arrivé dans le
Menu loi Normale
de notre Casio
4 sous menus sont possibles
Le sous menu
Permet de calculer dans le cas ou la variable
aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité
P( X ≤ X 1 ) ainsi que P( X 1 ≤ X ≤ X 2 )
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Application
• Calculons P( X ≤ 1 )
Il suffit juste de taper
P( X ≤ 1 )=0.84134
• Calculons P( 0.5 ≤ X ≤ 1 )
Il suffit juste de taper
Attention il ne faut pas oublier de
fermer les parenthèses sous peine
d’avoir un résultat faux.
P( 0.5 ≤ X ≤ 1 )=0.14988
Le sous menu
Permet de calculer dans le cas ou la variable
aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité
P( 0 ≤ X ≤ X 1 ) ainsi que P( X 1 ≤ X ≤ 0 )
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Application
• Calculons P( 0 ≤ X ≤ 0.71 )
Il suffit juste de taper
P( 0 ≤ X ≤ 0.71 )=
• Calculons P( −0.6 ≤ X ≤ 0 )
Il suffit juste de taper
P( −0.6 ≤ X ≤ 0 )=0.22575
Le sous menu
Permet de calculer dans le cas ou la variable
aléatoire suit une loi N(0 ;1) la probabilité
P( X ≥ X 1 )
Application
• Calculons P( X ≥ 1.41 )
Il suffit juste de taper
P( X ≥ 1.41 )= 0.13567
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