Dunod Commande électronique des machines Manuel utilisateur

La commande
électronique
des machines
En 65 fiches-outils
Michel Pinard
Maquette intérieure : Belle Page
© Dunod, Paris, 2013
ISBN 978-2-10-058481-9
Sommaire
Les cahiers techniques, mode d’emploi............................. 6
Dossier 1 Le flux magné­­tique dans les machines............... 8
Fiche 1
Fiche 2
Fiche 3
Fiche 4
Fiche 5
Fiche 6
Fiche 7
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage......... 12
Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages........... 18
Sources à cou­­rant continu. .............................. 22
Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé........... 24
Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé. ................ 27
Théo­­rème de Ferraris. Trans­­for­­ma­­tions............. 31
Trans­­for­­ma­­tion de Park.................................... 38
Dossier 2 Conver­­tis­­seurs de Puis­­sance.............................. 44
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Fiche 8 Les hacheurs (Choppers).................................... 48
Fiche 9 Le hacheur en uti­­li­­sation pra­­tique. ................... 51
Fiche 10 Les redresseurs à diodes (Rectifiers)................... 57
Fiche 11 Redres­­seur à thy­­ris­­tors
(Thyristor-­based rec­­ti­­fier bridge)............................. 60
Fiche 12 Les Onduleurs mono­­pha­­sés
(Single phase inverters)......................................... 67
Fiche 13 Les Gradateurs mono­­pha­­sés
(The power dimmers)........................................... 74
Fiche 14 Les Onduleurs auto­­nomes tri­­pha­­sés
(The three phase inverters).................................... 78
Fiche 15 L’Onduleur tri­­phasé à modulation de largeur
d’impulsion vec­­to­­rielle (The SVPWM inverter)..... 84
Fiche 16 L’onduleur assisté (The load-­controlled inverter)..... 90
Dossier 3 Uti­­li­­sation du moteur à cou­­rant continu........ 93
Fiche 17 Le moteur à cou­­rant continu
en régime sta­­tion­­naire (DC motor)..................... 96
Fiche 18 Le moteur à cou­­rant continu : ali­­men­­ta­­tion
par hacheur....................................................105
Fiche 19 Le moteur à cou­­rant continu :
régime dyna­­mique...........................................110
Fiche 20 Le moteur à cou­­rant continu : étude de cas.....118
Fiche 21 Le moteur à cou­­rant continu : modèle d’état...123
Fiche 22 Moteur à cou­­rant continu.
Uti­­li­­sation en robo­­tique..................................131
Fiche 23 Commande d’un moteur à cou­­rant continu :
frei­­nage..........................................................139
3
Sommaire
Dossier 4 Uti­­li­­sation du moteur à cou­­rant alter­­na­­tif....145
Fiche 24 Moteur série uni­­ver­­sel.....................................148
Fiche 25 Moteur asyn­­chrone mono­­phasé
et moteur diphasé...........................................154
Fiche 26 Machine syn­­chrone à pôles lisses
en régime sta­­tion­­naire linéaire.........................159
Fiche 27 Machine syn­­chrone à pôles saillants
en régime sta­­tion­­naire linéaire.........................165
Fiche 28 Machine syn­­chrone en régime sta­­tion­­naire
non-­linéaire....................................................169
Fiche 29 Machine syn­­chrone en régime dyna­­mique........175
Fiche 30 Machine syn­­chrone : uti­­li­­sation
de la Trans­­for­­mée de Park...............................183
Fiche 31 Machine asyn­­chrone en régime sta­­tion­­naire :
modé­­li­­sa­­tion...................................................192
Fiche 31 (suite) Machine asyn­­chrone en régime
sta­­tion­­naire : Couple. Essais expé­­ri­­men­­taux.....198
Fiche 32 Moteur asyn­­chrone en régime dyna­­mique........206
Fiche 33 Déter­­mi­­na­­tion expé­­ri­­men­­tale des élé­­ments
du modèle de la machine asyn­­chrone..............216
Dossier 5 Contrôle asser­­visse­­ment commande..............223
Fiche 34 Contrôle en vitesse d’un moteur......................226
Fiche 35 Commande en couple d’un moteur élec­­trique..... 232
Fiche 36 Les Cap­­teurs...................................................238
Fiche 37 Méthodes de Strejc, Broïda
et Ziegler-­Nichols............................................246
Fiche 38 Sys­­tèmes bou­­clés ana­­lo­­giques.........................250
Fiche 39 Les avan­­tages de la commande numé­­rique......255
Fiche 40 Cor­­rec­­tion des sys­­tèmes ana­­lo­­giques
et numé­­riques.................................................263
Fiche 41 Simu­­la­­tion d’une régu­­la­­tion de vitesse
à moteur à cou­­rant continu............................273
Dossier 6 Machine syn­­chrone : commande......................283
Fiche 42 Cou­­plage d’une machine syn­­chrone
sur le réseau....................................................287
Fiche 43 Cou­­plage d’un moteur syn­­chrone
sur le réseau....................................................299
Fiche 44 Auto­pilotage d’un moteur syn­­chrone...............306
Fiche 45 Pilo­­tage d’une machine syn­­chrone
par DSP ou FPGA...........................................316
Fiche 46 Moteurs à réluctance variable. ........................324
Fiche 47 Moteurs pas à pas..........................................332
4
Sommaire
Dossier 7 Machine asyn­­chrone : commande....................333
Fiche 48 Cou­­plage sur le réseau d’une machine
asyn­­chrone.....................................................336
Fiche 49 Commande en vitesse du moteur asyn­­chrone. .... 341
Fiche 50 Commande en boucle ouverte du moteur
asyn­­chrone.....................................................348
Fiche 51 Auto­pilotage sca­­laire du moteur asyn­­chrone....356
Fiche 52 Contrôle vec­­to­­riel du moteur asyn­­chrone.........359
Fiche 53 Commande à flux orienté du moteur
asyn­­chrone.....................................................369
Fiche 54 Pilo­­tage par pro­­ces­­seur : commande directe
du couple par DSP ou FPGA...........................377
Dossier 8 Le moteur élec­­trique en milieu indus­­triel.......381
Fiche 55 Les sys­­tèmes indus­­triels...................................385
Fiche 56 Le moteur élec­­trique dans l’envi­­ron­­ne­­ment
indus­­triel........................................................390
Fiche 57 Utilisation d’un moteur à cou­­rant continu.......391
Fiche 58 Uti­­li­­sation d’un moteur syn­­chrone
auto­piloté.......................................................392
Fiche 59 Le moteur asyn­­chrone dans les sys­­tèmes
indus­­triels.......................................................399
Fiche 60 Commandes d’axes.........................................405
Fiche 61 Choix entre les divers moteurs
et leur commande...........................................413
Annexes . .....................................................................414
Index
. .....................................................................415
5
Les cahiers techniques,
mode d’emploi
Les fiches sont
classées par dossier
Une introduction reprenant
les grandes thématiques
du dossier
6
Un menu déroulant des
fiches du dossier
FICHE 
LaLes
commande
cahiers techniques,
électronique
mode
desd’emploi
machines
Une signalétique claire
Une partie Savoirfaire qui détaille
la mise en œuvre
Mise en avant
de l’objectif
de la fiche
Une partie Repères
pour définir
les bases
Des compléments
d’information pour
aller plus loin
Des schémas
clairs et complets
Une partie En pratique
pour une application
terrain
7
DOSSIER
1
Le flux magné­­tique
dans les machines
Cas géné­­ral
Comment obtient-­on un couple moteur dans un conver­­tis­­seur (ou machine)
élec­­tro­­mé­­ca­­nique ?
D’une manière géné­­rale, toute machine (moteur ou géné­­ra­­trice) asso­­ciée à
une charge méca­­nique peut être consi­­dé­­rée comme un sys­­tème où les gran­­
deurs phy­­siques d’entrée sont :
❯❯ un « vec­­teur ten­­sion » [V] compor­­tant une ou plu­­sieurs compo­­santes,
❯❯ le couple résis­­tant de la charge, noté Tr, en N. m.
La gran­­deur interne essen­­tielle est le « vec­­teur » flux magné­­tique [Φ].
Les gran­­deurs phy­­siques de sor­­tie sont :
❯❯ un « vec­­teur cou­­rant » [I] compor­­tant une ou plu­­sieurs compo­­santes,
❯❯ la vitesse angu­­laire de la machine Ω, en rad/s.
❯❯ la posi­­tion angu­­laire de la machine θ du rotor, en rad.
Vecteur Tension [V]
Vecteur Courant [I]
Vecteur Flux
magnétique
Couple charge Tr
[Φ]
Ω
Vitesse angulaire
Position angulaire
θ
Figure 1.1 Prin­­cipe de la conver­­sion élec­­tro­­mé­­ca­­nique
En uti­­li­­sant le logi­­ciel VisSim
La démarche des concep­­teurs de ce logi­­ciel est simi­­laire à ce qui est pré­­senté
ci-­dessus :
Les gran­­deurs phy­­siques d’entrée sont alors (cf. figure 1.2) :
❯❯ un « vec­­teur ten­­sion » [V] compor­­tant deux compo­­santes, l’une posi­­tive,
l’autre néga­­tive,
❯❯ le couple résis­­tant de la charge (Load Re­action Torque Vector).
Les gran­­deurs phy­­siques de sor­­tie sont (cf. figure 1.2) :
❯❯ le dépla­­ce­­ment angu­­laire θ (Rotor Dis­place­­ment) exprimé en rad,
8
Motor + (volts)
Motor − (volts)
Load Reaction Torque Vector
Rotor Displacement (rad)
Basic DC Motor
Rotor Angular Velocity (rad/sec)
(Permanent Magnet)
Motor Current (amps)
Figure 1.2 Logi­­ciel VisSim : cas du moteur à cou­­rant continu à aimant per­­manent
Équation des flux
Les divers flux d’une machine
1
DOSSIER
dθ
(Rotor Angular Velocity) exprimé en rad/sec,
dt
❯❯ l’inten­­sité du cou­­rant d’induit (Rotor Dis­place­­ment) exprimé en A.
❯❯ la vitesse angu­­laire Ω=
D’une manière géné­­rale, les n bobi­­nages d’une machine sont en cou­­plage
magné­­tique mutuel et on consi­­dère le flux « élé­­men­­taire » d’une spire ϕcp du
bobi­­nage (ou enrou­­le­­ment) c pour la spire p.
On a Mcp
n
Mcpp ¦ Mcdp avec d ≠ c où ϕccp est le flux propre (ou d’auto-­induction)
d 1
et ϕcdp est le flux (de mutuelle induc­­tion) créé à tra­­vers la spire p par les (n-1)
autres cir­­cuits.
Consi­­dé­­rons le flux total pour l’enrou­­le­­ment c compor­­tant Nc spires :
Nc
¦M
)c
p 1
Nc
cpp
n
¦ ¦ Mcdp avec d ≠ c.
p 1 d 1
Nc
Le pre­­mier terme
) cd
Nc
¦M
p 1
cdp
¦M
p 1
cpp
est égal au flux total propre Φcc et le deuxième terme
est le flux du cou­­plage mutuel des cir­­cuits c et d.
Le flux total propre Φcc se décom­­pose en deux termes :
❯❯ le flux total de fuites Φfc qui cor­­res­­pond à la somme des flux des lignes de
champ pas­­sant dans les spires de l’enrou­­le­­ment c et ne tra­­ver­­sant aucune
spire des n-1 autres cir­­cuits ;
❯❯ le flux total de magné­­ti­­sation Φmc qui cor­­res­­pond à la somme des flux des lignes
de champ pas­­sant les spires de l’enrou­­le­­ment c et tra­­ver­­sant au moins une
spire des n-1 autres cir­­cuits. Alors Φcc = Φfc + Φmc.
Matrice inductance
On désigne sous les termes sui­­vants les inductances :
Φ
❯❯ de magné­­ti­­sation Lmc = mc ;
ic
Φ cf
l
=
;
❯❯ de fuites f
ic
9
DOSSIER
1
❯❯ propre Lc =
Φ cc
= Lmc + l f ;
ic
❯❯ mutuelle Mcd =
Φ cd
.
id
Φ
Les inductances mutuelles sont symé­­triques : donc Mcd = Mdc = dc .
ic
Mise sous forme matricielle :
Φ1   L1 M12
Φ   M
 2   21 L2
  = 

  
Φ c   Mc 1 Mc 2
Φ n   Mn1 Mn2
 M1c
 M2c
 
 Lc
 
M1n 
M2n 
 

 
Ln 
 i1 
i 
 2
 
 
 ic 
in 
Coefficients de cou­­plage et de dis­­per­­sion entre deux bobi­­nages c et d :
Consi­­dé­­rons l’expres­­sion :
K cd =
Mcd
Φ cd Φ dc
=
Φ dd Φ cc
Lc Ld
Par défi­­ni­­tion, Kcd est le coef­­fi­­cient de cou­­plage entre les cir­­cuits c et d (0 < Kcd
< 1).
❯❯ Si Kcd = 1, le cou­­plage est par­­fait ;
❯❯ si Kcd = 0, le cou­­plage est nul, par exemple, pour deux bobi­­nages dont les
axes sont en qua­­dra­­ture (sauf cas par­­ti­­cu­­liers).
On appelle coef­­fi­­cient de dis­­per­­sion de Blon­­del la quan­­tité :
σ cd =1 −
10
Mcd2
=1 − K cd2
Lc Ld
DOSSIER
1
LES FICHES
Fiche 1 : Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage . ...... 12
Fiche 2 : Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages .......... 18
Fiche 3 : Sources à cou­­rant continu . ............................. 22
Fiche 4 : Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé ......... 24
Fiche 5 : Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé ................ 27
Fiche 6 : Théo­­rème de Ferraris. Trans­­for­­ma­­tions ........... 31
Fiche 7 : Trans­­for­­ma­­tion de Park . ................................. 38
11
Fiche 1
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul
bobi­­nage
Objec­­tifs
✓✓ La formulation du couple d’un moteur élé­­men­­taire peut être obtenue à par­­tir de
l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née ou de la co­énergie.
✓✓ Intro­­duc­­tion de la notion d’inductance variable en fonc­­tion de la posi­­tion θ du
rotor.
✓✓ Expres­­sion de l’équa­­tion méca­­nique et de l’équa­­tion élec­­trique d’un moteur élé­­
men­­taire à un seul bobi­­nage.
Repères
Bil­an des éner­­gies mises en jeu
On consi­­dère un sys­­tème élec­­tro­­mé­­ca­­nique élé­­men­­taire qui ne comporte
qu’un seul bobi­­nage. Son étude per­­met l’éta­­blis­­se­­ment d’une rela­­tion simple
pour expri­­mer le couple. Les éner­­gies mises en jeu sont les sui­­vantes :
ff Wfe = éner­­gie four­­nie par la source ;
ff Wpe = éner­­gie per­­due en pertes élec­­triques ;
ff ∆Ws = éner­­gie emma­­ga­­si­­née dans le conver­­tis­­seur ;
ff Wm = éner­­gie méca­­nique ;
ff Wpm = éner­­gie per­­due sous forme méca­­nique ;
ff ∆Wsm = éner­­gie ciné­­tique ;
ff Wum = éner­­gie uti­­li­­sable.
Ce qui donne en bilan de l’éner­­gie méca­­nique :
Wm = Wpm + Wum + ∆Wsm
Par la suite, on se place dans le cas par­­ti­­cu­­lier où le conver­­tis­­seur est conservatif :
il y a conser­­va­­tion de la puis­­sance méca­­nique. Il n’y a donc ni pertes, ni
accu­­mu­­la­­tion d’éner­­gie méca­­nique. Dési­­gnons alors par W e = W fe – W pe
l’éner­­gie élec­­trique appli­­quée au sys­­tème. Alors on abou­­tit à la rela­­tion fon­­da­­
men­­tale :
We = ∆Ws + Wm
12
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage
FICHE 1
ou, sous forme dif­­fé­­ren­­tielle (uti­­li­­sée par la suite) :
dWe = dWs + dWm
S a v o i r - ­F a i r e
Énergie magnétique emma­­ga­­si­­née
et co­énergie
Le flux d’un sys­­tème à un seul bobi­­nage compor­­tant N spires par­­couru par
un cou­­rant i est donné par la carac­­té­­ris­­tique de magné­­tisme de la figure 1.1.
On désigne par force magnéto-­motrice la quan­­tité ε = N i.
Flux
magnétique
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
D
Energie
A
Coénergie
P
O
Ni
Figure 1.1 Carac­­té­­ris­­tique du flux
L’éner­­gie emma­­ga­­si­­née (ou sto­­ckée) Ws cor­­res­­pond à l’aire du tri­­angle cur­­vi­­
ligne OAD.
Par défi­­ni­­tion, la co­énergie Wco cor­­res­­pond à l’aire du tri­­angle cur­­vi­­ligne OAP.
Ainsi, on obtient la rela­­tion :
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
avec :
ff dWe : éner­­gie élec­­trique appli­­quée ;
ff dWs : éner­­gie emma­­ga­­si­­née ;
ff dWm : éner­­gie méca­­nique engen­­drée.
Ws + Wco = i Φ = ε ϕ
13
FICHE 1
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage
Ce qui per­­met d’écrire pour la co­énergie :
i
Wco
³) di
0
H
³M
dH
0
L’éner­­gie emma­­ga­­si­­née et la co­énergie sont des fonc­­tions d’état (au sens ther­­
mo­­dy­­na­­mique du terme) du sys­­tème conservatif.
Expression du couple
D’une manière géné­­rale, pour un sys­­tème à un seul bobi­­nage, l’é­nergie dépend
du cou­­rant, du flux et de la posi­­tion angu­­laire θ. Il est pos­­sible d’écrire que
Ws = f(Φ, θ) avec :
dWs =
∂ Ws
∂ Ws
dΦ +
dθ = i d Φ − Te dθ
∂Φ
∂θ
Pour la co­énergie, il est pos­­sible d’écrire que Wc0 = g( i, θ) avec :
dWco =
∂ Wco
∂ Wco
di +
dθ = Φ di + Te dθ
∂ i
∂θ
Comme Ws + Wco = i Φ on obtient dWs + dWco = i dΦ + Φ di
Cas où il y a linéa­­rité entre le flux et le cou­­rant : le cir­­cuit magné­­tique est non
saturé et de per­­méa­­bi­­lité constante.
On obtient alors : Φ = L i et Ws = Wco = ½ L i². D’où la rela­­tion don­­nant le
couple :
1 dL
Te = i 2
2 dθ
Un sys­­tème à seul bobi­­nage ne per­­met pas d’obte­­nir une valeur moyenne non
nulle du couple. En effet, l’inductance L(θ) est néces­­sai­­re­­ment une fonc­­tion
pério­­dique de l’angle θ. On uti­­lise fré­­quem­­ment l’approxi­­ma­­tion sui­­vante :
L (θ ) = L0 + L∅ cos ( pθ ) où L0 et L∆ sont des constantes (L0 > L∆), et p dépend
de la géo­­mé­­trie du rotor. Par exemple, p = 2 si, pour une rota­­tion mini­­male
de π, la confi­­gu­­ra­­tion magné­­tique de la machine est la même.
§ p·
¨ ¸ L' i sin pT . Si le rotor de la
©2¹
machine tourne, alors θ = Ω t. La valeur moyenne du couple pour une période
de rota­­tion est nulle.
Ici, l’expres­­sion du couple est Te T
14
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage
FICHE 1
Équation dyna­­mique d’un sys­­tème linéaire
à un seul bobi­­nage
Le moment du couple agit géné­­ra­­le­­ment sur un sys­­tème du deuxième ordre
du type (les nota­­tions des déri­­vées sont celles qui sont uti­­li­­sées en méca­­
x
xx
dT
d 2T
et T
) :
nique : T
dt
dt 2
xx
E Ri d >L(T )@ x
d
di
T (équa­­tion élec­­trique)
>L(T ) u i @ R i L(T ) i
dt
dt
dT
1 2 d [L(θ )]
i
dθ
2
Ce qui per­­met de connaître l’inter­­ac­­tion entre l’équa­­tion méca­­nique et
l’équa­­tion élec­­trique.
Le couple du sys­­tème est : Te =
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
E n p r a ­­t i q u e
Étude d’un cir­­cuit magné­­tique en satu­­ra­­tion à l’aide
du logi­­ciel PSIM
Pré­­sen­­ta­­tion
Il est pos­­sible de tester expé­­ri­­men­­ta­­lement ou en simu­­la­­tion le compor­­te­­ment
d’un cir­­cuit magné­­tique sou­­mis à une ten­­sion sinu­­soï­­dale, par exemple celui
d’une machine tour­­nante, qui comporte alors néces­­sai­­re­­ment un entre­­fer.
Un exemple de cir­­cuit magné­­tique est pré­­senté à la figure 1.2a. Il s’agit d’un
cir­­cuit satu­­rable sou­­mis à une ten­­sion effi­­cace de 230 V, à la fré­­quence 50 Hz.
Cette ten­­sion est appli­­quée avec une phase nulle à t = 0.
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
x
Te C (T T0 ) f T J T T0 (équa­­tion méca­­nique)
Te est le couple élec­­tro­­ma­­gné­­tique.
C est le coef­­fi­­cient d’élas­­ti­­cité.
f est le coef­­fi­­cient de frot­­te­­ment vis­­queux.
J est le moment d’iner­­tie.
T0 est le couple de frot­­te­­ment sec.
D’autre part, en régime linéaire :
15
FICHE 1
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage
Circuit magnétique en saturation
Entrefer
0... 50 ms
C/p
�
100
R1
V
Vin
�
100
5mH
�
Fuites magnétiques
1n
10
230*1.414 V
ϕ=0
Vflux
50 Hz
V
Circuit saturable
V
Fmm
Figure 1.2a Cir­­cuit magné­­tique à un seul bobi­­nage en satu­­ra­­tion
La bobine comporte 100 spires. On a simulé (cf. la figure 1.2b) des fuites
magné­­tiques et un entre­­fer. Aux bornes du cir­­cuit satu­­rable, on mesure la
force magné­­to­­mo­­trice ε en A.t et le flux en Wb. La résis­­tance R1 égale à
100 ohms sert à limi­­ter le cou­­rant fourni par la source de ten­­sion.
Simu­­la­­tion
Les résul­­tats sont présentés à la figure ci-­dessous.
16
FICHE 1
Magné­­tisme : sys­­tème à un seul bobi­­nage
0.0008
0.0004
0
-0.0004
-0.0008
400
200
0
-200
-400
4
2
0
-2
-4
Vin
213,5 V
Vflux
0,000755 Wb
Fmm
313,5 A.t
I(R1)
3,2 A
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Time (s)
Figure 1.2b Courbes obte­­nues
On constate que la satu­­ra­­tion du flux à
0,000755 Wb (0,755 mWb) pro­­voque une
baisse de la ten­­sion d’entrée Vin et une aug­­
men­­ta­­tion bru­­tale de la force magné­­to­­mo­­
trice, qui cor­­res­­pond à un cou­­rant I(R1)
maximal de quelques ampères (3,2 A), autant
dans la résis­­tance que dans le bobi­­nage.
Conseils
Le cir­­cuit magné­­tique consi­­déré ici est formé
de tôles de fer. Il est pos­­sible d’envi­­sa­­ger un
cir­­cuit magné­­tique consti­­tué de fer­­rite, qui
aurait des pro­­prié­­tés compa­­rables, bien que
le flux magné­­tique obtenu par spire soit plus
faible.
Des expé­­riences sur le cir­­cuit magné­­tique à
un seul bobi­­nage peuvent être menées sur le
bobi­­nage induc­­teur d’une machine à cou­­rant
continu ou d’un alter­­nateur.
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
100
50
0
-50
-100
17
Fiche 2
Magné­­tisme : sys­­tème
à deux bobi­­nages
Objec­­tifs
✓✓ Intro­­duc­­tion de la co­énergie avec un cir­­cuit magné­­tique compor­­tant deux bobi­­nages
afin d’intro­­duire le couple moteur.
✓✓ Appli­­ca­­tion de cette méthode dans le cas simple d’un moteur élé­­men­­taire à
réluctance variable à deux bobi­­nages.
✓✓ Expres­­sion de l’équa­­tion méca­­nique et de l’équa­­tion élec­­trique d’un moteur élé­­
men­­taire à un seul bobi­­nage.
Repères
Bilan des éner­­gies mises en jeu
Pour obte­­nir un couple de valeur moyenne non nulle pour une période de
rota­­tion, il faut dis­­po­­ser au moins de deux bobi­­nages dans la machine. On
uti­­lise encore la rela­­tion dWe = dWs + dWm. Ce qui donne :
dWe = ( e1 i1 + e2 i2 ) dt = dΦ1
dΦ 2
i1 dt +
i2 dt = i1 dΦ1 + i2 dΦ2
dt
dt
d’où dWe = i1 dΦ1 + i2 dΦ2 = dWs + dWm
Si dWm = 0, alors l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née est Ws
³³
i1 d)1 i2 d) 2
) 1,) 2
³³ )
Et pour la co­énergie Wc 0
1
di1 ) 2 di2 car Ws + Wco = i1 Φ1 + i2 Φ2
i1, i 2
Il est pos­­sible de géné­­ra­­li­­ser pour le cas d’une machine compor­­tant n bobi­­
nages :
) 1,....) n n
Ws
³
0
¦ ik d) k et Wco
k 1
i1,...in n
³ ¦)
0
k
dik .
k 1
S a v o i r - ­F a i r e
Expressions du couple
On a avec deux bobi­­nages : Ws = f( Φ1, Φ2, θ ) pour l’éner­­gie emma­­ga­­si­­née.
18
Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages
On iden­­ti­­fie les déri­­vées par­­tielles : dWs =
FICHE 2
∂ Ws
∂ Ws
∂ Ws
dΦ1 +
dΦ 2 +
dθ
∂ Φ1
∂ Φ2
∂θ
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
; i1 = +
et
∂ Φ1
∂θ
∂ Ws (Φ1 ,Φ 2 ,θ )
i2 = +
∂ Φ2
On obtient Te = −
Pour la co­énergie Wco= g( i1, i2, θ ). En pro­­cé­­dant comme ci-­dessus, on obtient :
Te = +
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
∂ Wco ( i1 , i2 ,θ )
, Φ1 = +
et Φ 2 = +
∂ i2
∂θ
∂ i1
Te = −
∂ Ws ( Φ1, Φ2 , Φ n , θ )
∂ Wco ( i1, i2 , in , θ )
=+
∂θ
∂θ
Cas des sys­­tèmes linéaires
Les cal­­culs sont plus simples en uti­­li­­sant la co­énergie : dWco = Φ1 di1+ Φ2 di2
En intro­­dui­­sant les inductances propres et l’inductance mutuelle :
dWco = (L1 i1 + M i2 ) di1+ (L2 i2 + M i1 ) di2 on obtient :
dWco = L1 i1 di1+ M ( i2 di1+ i1 di2 ) + L2 i2 di2
soit :
Wco = ½ L1 i1² + M i1 i2 + ½ L2 i2 ²
ce qui donne sous forme matricielle :
1
2
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
[Wco ] = [i1
 L1 M   i1  1
i2 ] 
   = [ i ]t [L ] [ i ]
 M L2  i2  2
D’où la for­­mule du couple : Te =
∂ [Wco ] 1  ∂ [L ] 
= [ i ]t 
 [i ]
2  ∂θ 
∂θ
Équation dyna­­mique d’un sys­­tème linéaire à deux
bobi­­nages
En régime linéaire :
Φ1 = L1(θ) i1 + M(θ) i2
Φ2 = L2(θ) i2 + M(θ) i1
1  dL
dM 2 dL2 
Te =  i12 1 + 2 i1 i2
+ i2

2  dθ
dθ
dθ 
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
Géné­­ra­­li­­sa­­tion au cas d’une machine compor­­tant n bobi­­nages :
19
FICHE 2
Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages
t
tt
Te C (R R0 ) f R J R T0 (équa­­tion méca­­nique)
Les équa­­tions élec­­triques peuvent se mettre sous la forme :
ª E1 º
«E »
¬ 2¼
ªR1 0 º ª i1 º ª L1 M º d ª i1 º x ­° d
« 0 R » «i » « M L » dt «i » T ® dT
°̄
2¼¬ 2¼
2¼
¬
¬
¬ 2¼
ª L1 M º ½° ª i1 º
« M L » ¾ «i »
2 ¼°
¬
¿ ¬ 2¼
Ce qui cor­­res­­pond aux équa­­tions matricielles sui­­vantes :
>E @ >R @>i @ ª¬L T º¼
et Te =
^ > @` ^
`
x
d
d
i T
ªL T º¼ > i @
dt
dT ¬
∂ [Wco ] 1  ∂ [L ] 
= [ i ]t 
 [i ]
∂θ
2
 ∂θ 
E n p r a ­­t i q u e
Étude théo­­rique d’un moteur à deux bobi­­nages
On consi­­dère le moteur à réluctance variable pré­­senté à la figure 2.1.
Y
β
θ
X
Rotor 0
α
Stator
Figure 2.1 Moteur à réluctance variable élé­­men­­taire
Le rotor est ovale et les deux bobi­­nages de la machine, notés α et β et pla­­cés
au sta­­tor, sont en qua­­dra­­ture. Le moteur est dit « à réluctance variable » car
l’entre­­fer du cir­­cuit magné­­tique cor­­res­­pon­­dant à chaque enrou­­le­­ment, varie
20
Magné­­tisme : sys­­tème à deux bobi­­nages
FICHE 2
avec l’angle θ. L’inductance équi­­va­­lente par bobi­­nage est donc une fonc­­tion pério­­dique
de θ. La rela­­tion entre les flux et les cou­­rants est de la forme :
0   iα 
 Φα  Lα (θ )

Φ  =  0
Lβ (θ )  iβ 
 β 
avec LD T
LE T
L0 L' cos 2T et
S º·
§ ª
L0 L' cos ¨ 2 «T » ¸ L0 L' cos 2T 2 ¼¹
© ¬
Wco =
1
iα
2
 iα 
iβ  L (θ )   
 iβ 
On obtient alors : Wco = ½ [L0 (iα²+iβ²) + L∆ cos(2θ) (iα² - iβ²)]
On veut éta­­blir l’expres­­sion du couple élec­­tro­­ma­­gné­­tique du moteur, en fonc­­
∂ [Wco ]
tion de θ, selon les cou­­rants iα et iβ des bobi­­nages. On cal­­cule : Te =
∂θ
à cou­­rants constants. On obtient :
Te = - L∆ sin(2θ) (iα² - iβ²)] = L∆ sin(2θ) (iβ² - iα²)
Remarque : si le dépha­­sage entre iβ et iα est nul ou un mul­­tiple de π/2, la
valeur moyenne du couple est nulle.
Pre­­nons le cas où :
iD T I 2 cos T
S·
§
iE T I 2 cos ¨ T ¸ I 2 sin T
2¹
©
Alors Te = L∆ sin(2θ) (iβ² - iα²) = - 2 L∆ I² sin(2θ)
cos(2θ) = - L∆ I² sin(4θ). La valeur moyenne
d’une fonc­­tion sinu­­soï­­dale est nulle.
Conseils
Le cal­­cul du couple par cette méthode est
sou­­vent long et fas­­ti­­dieux. Cepen­­dant, cette
méthode se prête bien à des expé­­riences
simples ou des simu­­la­­tions. Elle est géné­­ra­­li­­
sable au cas des moteurs pas à pas.
Les résul­­tats obte­­nus sont assez loin des résul­­
tats théo­­riques.
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
La co­énergie est don­­née par :
21
Fiche 3
Sources à cou­­rant continu
Objec­­tifs
✓✓ Intro­­duire la notion de puis­­sance four­­nie par une source à cou­­rant continu.
✓✓ Défi­­nir la conven­­tion récep­­teur d’un dipôle.
✓✓ Pré­­sen­­ter les divers types de sources.
✓✓ Pré­­sen­­ter l’usage pos­­sible de ces sources dans des appli­­ca­­tions cou­­rantes.
Repères
La valeur de la ten­­sion U et du cou­­rant I sont indé­­pen­­dantes du temps.
On appelle puis­­sance la quan­­tité P = U I. Par défi­­ni­­tion, en conven­­tion récep­­
teur, la puis­­sance est posi­­tive lors­­qu’elle est reçue par un dipôle.
Pour tester le fonc­­tion­­ne­­ment de cer­­tains sys­­tèmes, il faut sou­­vent uti­­li­­ser des
sources de ten­­sion conti­­nue réglables. Dans la pra­­tique, l’expé­­ri­­men­­ta­­teur se
sert :
ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) sta­­bi­­li­­sées ; la ten­­sion est rigou­­reu­­se­­ment
constante en fonc­­tion du temps et réglable de manière très souple. (Il
n’est guère pos­­sible de dépas­­ser 50 V, pour un cou­­rant maximal de 5 A,
soit une puis­­sance maximale de 250 W).
ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) à décou­­page ; la ten­­sion est asser­­vie
constante en fonc­­tion du temps et réglable de manière très souple. (Il
n’est guère pos­­sible de dépas­­ser 50 V pour un cou­­rant maximal de 20 A,
soit une puis­­sance maximale de 1000 W). La plu­­part de ces ali­­men­­ta­­
tions sont pro­­gram­­mables.
ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) obte­­nues par redres­­se­­ment et fil­­trage ; la
ten­­sion est réglée soit par un auto­trans­­for­­ma­­teur, soit asser­­vie et alors
réglable de manière très souple. Selon la puis­­sance de l’ali­­men­­ta­­tion
mono­­pha­­sée ou tri­­pha­­sée du redres­­seur, et selon la taille des compo­­
sants élec­­tro­­niques (diodes ou thy­­ris­­tors), il est pos­­sible d’obte­­nir des
ten­­sions très éle­­vées (jus­­qu’à 100 kV), de très fortes inten­­si­­tés (plu­­sieurs
milliers d’ampères).
22
Sources à cou­­rant continu
FICHE 3
S a v o i r - ­F a i r e
Uti­­li­­sation d’une source à valeur moyenne
de ten­­sion non nulle.
Dans la pra­­tique, l’expé­­ri­­men­­ta­­teur se sert :
ff
ff
cace de la ten­­sion sont réglables de manière très souple ;
Soit d’une ali­­men­­ta­­tion obte­­nue par une dynamo ; la valeur moyenne de la ten­­
sion est réglée par le cou­­rant d’exci­­ta­­tion et par la vitesse de rota­­tion, de
manière très souple. Les puis­­sances uti­­li­­sables dépendent essen­­tiel­­le­­ment
de la puis­­sance nomi­­nale de la machine et du moteur d’entraî­­ne­­ment ;
Soit d’ali­­men­­ta­­tions obte­­nues par un alter­­nateur ; la valeur moyenne de la ten­­
sion est réglée en fai­­sant varier le cou­­rant continu cir­­cu­­lant dans la roue
polaire de l’alter­­nateur. La ten­­sion conti­­nue est obte­­nue après redres­­se­­
ment à diodes ou à thy­­ris­­tors. Sa valeur dépend de la vitesse du moteur
d’entraî­­ne­­ment, et éven­­tuel­­le­­ment, de la commande des thy­­ris­­tors.
E n p r a ­­t i q u e
Va­leur moyenne d’une gran­­deur pério­­dique
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
On appelle puis­­sance ins­­tanta­­née la quan­­tité p(t) = v(t) i(t).
Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance active reçue par un dipôle, en conven­­tion récep­­
teur, (cf. figure 3.1) est don­­née par :
pmoy
p
§1·
P ¨ ¸
©T ¹
t 0 T
³ v t . i(t).dt
t0
i(t)
v(t)
Dipôle
récepteur
Conseils
Les sources « élec­­tro­­niques » (ali­­men­­ta­­tions
sta­­bi­­li­­sées, à décou­­page…) sont pro­­té­­gées
contre les sur­­in­­ten­­si­­tés. Il est par­­fois pos­­sible
de les uti­­li­­ser « en limi­­ta­­tion de cou­­rant »
pour obte­­nir une source de cou­­rant.
Figure 3.1 Conven­­tion récep­­teur d’un dipôle
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
ff Soit d’ali­­men­­ta­­tions (élec­­tro­­niques) de puis­­sance ; les valeurs moyenne et effi­­
La puis­­sance active est la valeur moyenne de p(t), et s’exprime en Watts (W).
Si le terme obtenu est néga­­tif, le dipôle est géné­­ra­­teur.
23
Fiche 4
Sources à cou­­rant alter­­na­­tif
mono­­phasé
Objec­­tifs
✓✓ Défi­­nir la notion de puis­­sance active et réac­­tive four­­nie par une source à cou­­rant
alter­­na­­tif mono­­phasé.
✓✓ Intro­­duire la notion de décom­­po­­si­­tion en série de Fourier.
✓✓ Expri­­mer alors les puis­­sances active, réac­­tive, appa­­rente et défor­­mante.
Repères
Puis­­sance en régime sinu­­soï­­dal
En consi­­dé­­rant la figure 3.1 (Fiche N° 3), on défi­­nit les expres­­sions des gran­­
deurs ins­­tanta­­nées :
ff pour la ten­­sion : v (t) = V 2 cos (ω t )
ff pour le cou­­rant : ϕ est le retard de phase.
i(t) = I 2 cos (ω t − ϕ )
La puis­­sance active se cal­­cule avec la rela­­tion P = V I cos (ϕ ) (en W).
La puis­­sance réac­­tive est défi­­nie par Q = V I sin (ϕ )
L’unité de la puis­­sance réac­­tive est le Volt - Ampère réac­­tif (VAR).
La puis­­sance appa­­rente est obte­­nue par S =V I (en VA)
Entre les puis­­sances, la rela­­tion est : S² = P² + Q²
Le fac­­teur d’uti­­li­­sation fu devient le fac­­teur de puis­­sance et s’iden­­ti­­fie à cos φ.
Théo­­rème de Boucherot : il y a conser­­va­­tion de la puis­­sance réac­­tive Q en
régime sinu­­soï­­dal, dans un cir­­cuit à fré­­quence unique et ne compor­­tant que
des impé­­dances.
24
FICHE 4
Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé
S a v o i r - ­F a i r e
D’une manière géné­­rale, les valeurs effi­­caces d’une ten­­sion et d’un cou­­rant
mono­­pha­­sés sont défi­­nies à par­­tir de la puis­­sance active dis­­si­­pée dans une
résis­­tance R :
p
P
1
T
En consi­­dé­­rant que P = R . Ieff2 =
t 0T
Ieff
1
.
T
³
t 0 T
³
R. i 2 (t).dt
t0
Veff2
R
1
T
t 0 T
³
t0
v 2 (t)
.dt
R
, on défi­­nit la valeur effi­­cace du cou­­rant
i 2 t .dt et la valeur effi­­cace de la ten­­sion Veff
t0
t 0T
1
.
T
³ v t .dt .
2
t0
Remarque : les lois des mailles et des nœuds ne s’appliquent pas aux valeurs
effi­­caces.
E n p r a ­­t i q u e
Décom­­po­­si­­tion en sé­rie de Fourier
En électronique de puis­­sance, il est plus inté­­res­­sant d’écrire le déve­­lop­­pe­­ment
en série de Fourier de la manière sui­­vante :
f
v (t) V0 ¦ Vk . 2.cos kZ.t T k © Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
k 1
V0 est la valeur moyenne de la ten­­sion v(t) et Vk est la valeur effi­­cace de l’har­­
b
mo­­nique de rang k. On a Vk . 2 = ak2 + bk2 et tg (θ k ) = k
ak
De même, on écrit :
f
i(t) I0 ¦ Ik . 2.cos kZ.t Mk T k k 1
Le dépha­­sage entre cou­­rant et ten­­sion cor­­res­­pon­­dant à l’har­­mo­­nique k est
ϕk.
La valeur moyenne de la ten­­sion v(t) est V0, et celle du cou­­rant est I0.
La valeur effi­­cace de v(t) est Veff2
f
V02 ¦ Vk2 .
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
pmoy
k 1
25
FICHE 4
Sources à cou­­rant alter­­na­­tif mono­­phasé
La valeur effi­­cace de i(t) est Ieff2
f
I02 ¦ Ik2 .
k 1
La valeur de la puis­­sance appa­­rente est Seff² = Veff² Ieff²
On démontre que la puis­­sance active est
don­­née par :
Conseils
f
Lors de l’usage expé­­ri­­men­­tal d’une source,
bien veiller à ce qu’il reste à l’inté­­rieur de son
domaine d’appli­­ca­­tion.
Il est tou­­jours pré­­fé­­rable que la source soit
à ten­­sion sinu­­soï­­dale, et même à cou­­rant
sinu­­soï­­dal, car c’est ainsi que la puis­­sance
active est la mieux trans­­mise : il n’y a pas de
« pertes » pro­­vo­­quées par les har­­mo­­niques.
En effet, si la ten­­sion est sinu­­soï­­dale « pure » :
v(t ) = V 2 cos (ω.t )
Alors, même si le cou­­rant n’est pas sinu­­soï­­dal,
il est possible d’écrire :
P = V I1 cos (ϕ 1 )
Q V I1 sin M 1 Ieff2
f
I02 ¦ Ik2 .
k 1
S
26
V . Ieff2
f
ª
º
V «I02 ¦ Ik2 .»
k 1
¬
¼
P V0 . Io ¦ Vk .Ik .cos Mk (en W)
k 1
Une défi­­ni­­tion de la puis­­sance réac­­tive est la
sui­­vante :
f
Q
¦ V .I .sin M (en VAR)
k k
k
k 1
La puis­­sance défor­­mante D est défi­­nie de la
manière sui­­vante :
S² = P² + Q² + D²
ce qui donne :
D = S 2 − (P 2 + Q2 )
Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé
Fiche 5
Objec­­tifs
✓✓ Défi­­nir la notion de puis­­sance active et réac­­tive four­­nie par une source à cou­­rant
alter­­na­­tif tri­­phasé.
✓✓ Intro­­duire la notion de décom­­po­­si­­tion en série de Fourier.
Repères
ia(t)
ib(t)
ic(t)
va(t)
Charge
triphasée
vb(t)
vc(t)
Neutre
Figure 5.1 Ali­­men­­ta­­tion d’une charge tri­­pha­­sée
Dans ce cas, en consi­­dé­­rant la figure 5.1, on défi­­nit les gran­­deurs sui­­vantes :
ff pour les ten­­sions :
v a (t) V 2 cos Z t 2S
§
v b (t) V 2 cos ¨ Z t 3
©
2S
§
v c (t) V 2 cos ¨ Z t 3
©
·
¸
¹
·
¸
¹
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
✓✓ Expri­­mer alors les puis­­sances active, réac­­tive, appa­­rente et défor­­mante.
27
FICHE 5
Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé
ff pour les cou­­rants : ϕ est le retard de phase.
ia (t) I 2 cos Z t M 2S
·
§
M ¸
ib (t) I 2 cos ¨ Z t 3
¹
©
2S
·
§
M ¸
ic (t) I 2 cos ¨ Z t 3
¹
©
La puis­­sance active se cal­­cule par la rela­­tion P = 3 V I cos ϕ (en W)
La puis­­sance réac­­tive vaut Q = 3 V I sin ϕ ⋅ (en VAR).
La puis­­sance appa­­rente est obte­­nue par S = 3 V I (en VA)
Entre les puis­­sances, la rela­­tion est :
S² = P² + Q²
Le fac­­teur d’uti­­li­­sation fu devient le fac­­teur de puis­­sance et s’iden­­ti­­fie à cos φ.
Comme en mono­­phasé, la puis­­sance appa­­rente nomi­­nale SN déter­­mine le
dimensionnement des machines et des conver­­tis­­seurs.
S a v o i r - ­F a i r e
Puis­­sance ins­­tanta­­née en régime sinu­­soï­­dal
équi­­li­­bré
Cal­­cu­­lons la puis­­sance ins­­tanta­­née : p = v a (t).ia (t) + v b (t).ib (t) + v c (t).ic (t) .
On obtient :
p
2S ·
2S ·
2S ·
ª
§
§
§
§
2 VI «cos Z t cos Z t M cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸ cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t 3 ¹
3 ¹
3 ¹
©
©
©
©
¬
2S ·
2S ·
2S · º
2S ·
ª
§
§
§
§
2 VI «cos Z t cos Z t M cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸ cos ¨ Z t ¸ cos ¨ Z t M ¸
3 ¹
3 ¹
3 ¹ »¼
3 ¹
©
©
©
©
¬
Ce qui donne :
4S ·
4S · º
ª
§
§
p VI «cosM cos 2Z t M cosM cos ¨ 2Z t M ¸ cosM cos ¨ 2Z t M ¸
3 ¹
3 ¹ »¼
©
©
¬
4S ·
4S · º
ª
§
§
p VI «cosM cos 2Z t M cosM cos ¨ 2Z t M ¸ cosM cos ¨ 2Z t M ¸
3 ¹
3 ¹ »¼
©
©
¬
soit p = P = 3 V I cos ϕ.
28
Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé
FICHE 5
En régime tri­­phasé sinu­­soï­­dal équi­­li­­bré, la puis­­sance ins­­tanta­­née est égale à
la puis­­sance active.
Puis­­sance moyenne
Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance active reçue en conven­­tion récep­­teur est don­­née
par :
p
P
t 0 T
³
( v a (t).ia (t) v b (t).ib (t) v c (t).ic (t)).dt
t0
La puis­­sance active est la valeur moyenne de p(t) et s’exprime en Watts (W). Si
le terme obtenu est néga­­tif, on a affaire à un géné­­ra­­teur tri­­phasé.
Une défi­­ni­­tion pos­­sible de la puis­­sance réac­­tive consiste à consi­­dé­­rer qu’elle
résulte d’une valeur moyenne de termes ana­­logues à la puis­­sance ins­­tanta­­
née, où les ten­­sions sont retar­­dées de π/2. Mais il est néces­­saire que les formes
d’onde des ten­­sions soient sinu­­soï­­dales. On uti­­lise alors la rela­­tion :
Q
1
T
t 0 T
³
(va (t t0
T
T
T
).ia (t) v b ( t ).ib (t) v c ( t ).ic (t)).dt
4
4
4
On verra qu’en uti­­li­­sant la trans­­for­­ma­­tion de Concordia (voir la Fiche N° 6),
une autre défi­­ni­­tion de la puis­­sance réac­­tive est pos­­sible.
E n p r a ­­t i q u e
© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
Décom­­po­­si­­tion en sé­rie de Fourier en tri­­phasé
On consi­­dère que chaque géné­­ra­­teur four­­nit un sys­­tème de ten­­sions pério­­
diques va(t), vb(t), vc(t), non sinu­­soï­­dales, déca­­lées entre elles d’un tiers de période.
En uti­­li­­sant le théo­­rème de Fourier, on écrit pour cha­­cune des phases :
f
v a (t) V 2 cos Z t ¦ Vk 2 cos kZ t T k k 2
D’autre part, on a :
2.S · f
§
v b (t) V 2 cos ¨ Z t ¸ ¦ Vk
3 ¹ k 2
©
2S ·
ª §
º
2.cos «k ¨ Z t ¸ Tk »
3 ¹
¬ ©
¼
et enfin :
2.S
§
v c (t) V 2 cos ¨ Z t 3
©
2.S
ª §
· f
¸ ¦ Vk 2 cos «k ¨ Z t 3
¹ k 2
¬ ©
º
·
¸ Tk »
¹
¼
DOSSIER 1 : Le flux magné­­tique dans les machines
pmoy
1
T
29
FICHE 5
Source à cou­­rant alter­­na­­tif tri­­phasé
De même, on écrit :
f
ia (t) I 2 cos Zt M ¦ Ik 2 cos kZ.t Mk T k k 2
De même, pour les autres phases :
2S
2S ·
ª §
º
§
· f
ib (t) I 2 cos ¨ Zt M ¸ ¦ Ik 2.cos «k ¨ Z t ¸ Mk T k »
3
3 ¹
©
¹ k 2
¬ ©
¼
2S
2S
ª §
§
· f
ic (t) I 2 cos ¨ Zt M ¸ ¦ Ik 2.cos «k ¨ Z t 3
3
©
¹ k 2
¬ ©
º
·
¸ Mk T k »
¹
¼
Le dépha­­sage cor­­res­­pon­­dant à l’har­­mo­­nique k entre cou­­rant et ten­­sion d’une
phase don­­née est φk.
La valeur effi­­cace de v(t) est Veff2
k 2
Conseils
La valeur effi­­cace de i(t) est Ieff2
Comme en mono­­phasé, lors de l’usage expé­­ri­­
men­­tal d’une source, bien veiller à ce qu’il reste
à l’inté­­rieur de son domaine d’appli­­ca­­tion.
Il est tou­­jours pré­­fé­­rable que la source soit
à ten­­sion sinu­­soï­­dale, et même à cou­­rant
sinu­­soï­­dal, car c’est ainsi que la puis­­sance
active est la mieux trans­­mise : il n’y a pas de
« pertes » pro­­vo­­quées par les har­­mo­­niques.
En effet, si le sys­­tème des trois ten­­sions est
sinu­­soï­­dal « pur » et équi­­li­­bré de valeur effi­­
cace V :
En consi­­dé­­rant :
• Que la forme d’onde des cou­­rants est
la même pour chaque phase à un tiers de
période près ;
2
• Que la valeur effi­­cace Ieff
f
I02 ¦ Ik2 . est
k 1
iden­­tique pour chaque phase ; alors :
P = 3V I1 cos (ϕ 1 )
Q = 3 V I1 sin (ϕ 1 )
ª ª 2 f f 2 2º º
V. 2..Ieff2Ieff2 =99
9V SSS 2 9=9V9V VV 2 «I«02I0¦
¦IkI.k».»
¬ ¬ k k1 1 ¼ ¼
30
f
V 2 ¦ Vk2 .
f
I 2 ¦ Ik2 .
k 2
La valeur de la puis­­sance appa­­rente est alors
Seff² = 3⋅Veff² Ieff²
On démontre que la puis­­sance active est don­­
née par :
f
P
3 V I cos M ¦ 3Vk Ik cos Mk k 2
Par défi­­ni­­tion, la puis­­sance réac­­tive est don­­
née par :
f
Q
3V I sin M ¦ 3Vk Ik sin Mk k 2
La puis­­sance défor­­mante D est éga­­le­­ment
défi­­nie de la manière sui­­vante :
D = S 2 − (P 2 + Q2 )
">