Casio GRAPH 20 Manuel utilisateur

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G
RIP
NOMBRES
CASIO
DECOMPOSITION D’UN NOMBRE
EN FACTEURS PREMIERS
Probl&egrave;me
ES
TOUT ES
LATRIC
CALCU IO
CAS
Ce d&eacute;veloppement a d&eacute;j&agrave; &eacute;t&eacute; publi&eacute; dans la revue n&deg;23. Nous le redonnons ici afin
d’homog&eacute;n&eacute;iser le dossier et de produire le listing du programme pour les anciennes
calculatrices.
Principe
Un nombre A &eacute;tant donn&eacute;, on le divise par la suite des nombres
premiers, en retenant ceux qui sont diviseurs, autant de fois que
n&eacute;cessaire, jusqu’&agrave; ce que le nombre premier soit sup&eacute;rieur &agrave; la
racine carr&eacute;e du dernier quotient entier.
La r&eacute;&egrave;lle difficult&eacute; d’une telle m&eacute;thode est la g&eacute;n&eacute;ration de la suite
des nombres premiers.
Pour ce faire, nous remarquerons qu’en dehors de 2 et de 3, tout
nombre premier peut s’&eacute;crire sous l’une des formes:
6p + 1
ou
6p + 5.
Ce sont donc les nombres de cette forme que nous utiliserons
comme diviseurs.
Ce qui ne signifie pas que tous ces nombres seront premiers
(comme par exemple 25 = 6 x 4 + 1).
Cependant, nous d&eacute;tenons l&agrave; un bon moyen de d&eacute;terminer, sans
trop de difficult&eacute;s, tous les nombres premiers (plus quelques uns
qui ne le seront pas). Nous effectuerons donc quelques divisions
inutiles qui ne porteront aucun pr&eacute;judice ni &agrave; la rigueur de la
d&eacute;marche ni &agrave; la rapidit&eacute; d’obtention du r&eacute;sultat.
G&eacute;n&eacute;ration des nombres 6p + 1 et 6p + 5.
Plut&ocirc;t que de donner &agrave; p les valeurs 0, 1, 2, 3, etc… on remarquera,
qu’&agrave; partir de 5, on obtient les suivants en:
• ajoutant 2
5 + 2 = 7
• ajoutant 4
7 + 4 = 11
• ajoutant 2
11 + 2 = 13
• ajoutant 4
13 + 4 = 17
etc…
Utilisation
et d’une mani&egrave;re g&eacute;n&eacute;rale, si on a le nombre 6p+1
• on ajoute 4: 6p+1 + 4 = 6p+5
soit 6p+5
• on ajoute 2: 6p+5 + 2 = 6(p+1)+1
soit 6p+1
etc…
Un probl&egrave;me se pose alors: comment obtenir successivement 2
puis 4, en ne faisant qu’une seule s&eacute;rie d’op&eacute;rations ?
N &eacute;tant le diviseur, on appelle M la m&eacute;moire qui doit contenir 2 ou
4.
M vaut 2; en ajoutant 2, M vaut 4
M vaut 4; en ajoutant -2, M vaut 2.
Il faut donc ajouter &agrave; M tant&ocirc;t 2, tant&ocirc;t -2.
Simulons cette situation:
N = 5 , M = 2 , J = -2:
&aacute;N)
• On augmente N de M (N+M&aacute;
soit N=7
&aacute;J)
• On prend l’oppos&eacute; de J (-J&aacute;
soit J=2
&aacute;M)
• On augmente M de J (M+J&aacute;
soit M=4
&aacute;N)
• On augmente N de M (N+M&aacute;
&aacute;J)
• On prend l’oppos&eacute; de J (-J&aacute;
&aacute;M)
• On augmente M de J (M+J&aacute;
soit N=11
soit J=-2
soit M=2
&aacute;N)
• On augmente N de M (N+M&aacute;
&aacute;J)
• On prend l’oppos&eacute; de J (-J&aacute;
&aacute;M)
• On augmente M de J (M+J&aacute;
etc…
soit N=13
soit J=2
soit M=4
On lance le programme principal FACT PRM.
Exemple: 147
Exemple: 456812
(on presse EXE apr&egrave;s
chaque affichage de diviseur)
(on presse EXE apr&egrave;s
chaque affichage de diviseur)
Exemple: 360
Exemple: 12347
(on presse EXE apr&egrave;s
chaque affichage de diviseur)
(on presse EXE apr&egrave;s
chaque affichage de diviseur)
CASIO
DECOMPOSITION D’UN NOMBRE
EN FACTEURS PREMIERS
ALGORITHME:
• Demander A.
•N=2
◊ Proc&eacute;dure Divisions de A par N
•N=3
◊ Proc&eacute;dure Divisions de A par N
• N = 5 et M = 2 et J = -2
Faire:
◊ Proc&eacute;dure Divisions de A par N
• Augmenter N de M
• J devient -J
• Augmenter M de J
Tant que N ≤ √A
• Si A≠1 alors &eacute;crire A et FIN
• Sinon FIN
A
N&deg; du programme
Prog 5
◊ Proc&eacute;dure Divisions de A par N:
Tant que N divise A:
• Ecrire N
• Remplacer A par le quotient A/N
Fin de Tant que
FIN de proc&eacute;dure
N
Nom du programme
FACT PRM
'FACT 1&auml;
&quot;NOMBRE&quot;?&Ecirc;A&auml;
2&Ecirc;N&auml;
Prog 6&auml;
3&Ecirc;N&auml;
Prog 6&auml;
5&Ecirc;N:2&Ecirc;M:-2&Ecirc;J&auml;
Lbl 0&auml;
Prog 6&auml;
N+M&Ecirc;N&auml;
-J&Ecirc;J&auml;
M+J&Ecirc;M&auml;
N≤√A…Goto 0&auml;
A≠1…A&para;
&quot;FIN&quot;
ClrText
&auml;
ClrText&auml;
&quot;NOMBRE&quot;?&aacute;A
&auml;
&quot;NOMBRE&quot;?&aacute;A&auml;
2&aacute;N
&auml;
2&aacute;N&auml;
Prog &quot;DIVISE&quot;
&auml;
&quot;DIVISE&quot;&auml;
3&aacute;N
&auml;
3&aacute;N&auml;
Prog &quot;DIVISE&quot;
&auml;
&quot;DIVISE&quot;&auml;
5&aacute;N:2&aacute;M:&ugrave;2&aacute;J
&auml;
5&aacute;N:2&aacute;M:&ugrave;2&aacute;J&auml;
Do
&auml;
Do&auml;
Prog &quot;DIVISE&quot;
&auml;
&quot;DIVISE&quot;&auml;
N+M&aacute;N
&auml;
N+M&aacute;N&auml;
&ugrave;J&aacute;J
&auml;
&ugrave;J&aacute;J&auml;
M+J&aacute;M
&auml;
M+J&aacute;M&auml;
LpWhile N&AElig;•A
&auml;
N&AElig;•A&auml;
If A&uml;1
&auml;
A&uml;1&auml;
Then A&ordf;
IfEnd
&auml;
IfEnd&auml;
&quot;FIN&quot;
Nom du programme
Nom du programme
Prog 6
DIVISE
'DIVISE&auml;
Lbl 2&auml;
A/N&Ecirc;X&auml;
Frac X≠0…Goto 9&auml;
N&para;
X&Ecirc;A&auml;
Goto 2&auml;
Lbl 9
G
RIP
NOMBRES
While Frac (A&sect;N)=0
&auml;
(A&sect;N)=0&auml;
N&ordf;
A&sect;N&aacute;A
&auml;
A&sect;N&aacute;A&auml;
WhileEnd
N
G
DECOMPOSITION D’UN NOMBRE
RIP
NOMBRES
CASIO
EN FACTEURS PREMIERS (suite)
Type N
sauf
0G
fx-691 0
H2
GRAP
Probl&egrave;me
Le programme de la fiche pr&eacute;c&eacute;dente pr&eacute;sente de nombreux avantages:
- Pas tr&egrave;s long &agrave; enregistrer.
- Ex&eacute;cutable sur les fx-6910G et GRAPH 20.
- Tr&egrave;s performant dans la rapidit&eacute; d’ex&eacute;cution des calculs.
Mais, son seul vrai d&eacute;faut, est de donner la liste d&eacute;taill&eacute;e des diff&eacute;rents facteurs premiers, par exemple
3; 3; 3; 3 au lieu de 3^4.
Nous allons donc arranger cela, dans cette fiche.
Cependant, comme nous allons exploiter les possibilit&eacute;s de mise en page qu’offre l’instruction Locate,
ces programmes ne seront pas valides sur les fx-6910G et GRAPH 20.
Voir programmes au dos.
Utilisation
On lance le programme principal FACT 1P.
Autres exemples:
• On affiche le nombre: 610304
• On presse EXE.
Les points simulent le
partage de l’&eacute;cran en
deux colonnes
• On lit: 610304 = 212 x 149
• FIN indique que la d&eacute;composition
est termin&eacute;e.
Tant que le carr&eacute; noir est affich&eacute;, la
calculatrice calcule.
Et, … 4 minutes plus tard …, elle
affiche le second facteur.
CASIO
DECOMPOSITION D’UN NOMBRE
EN FACTEURS PREMIERS (suite)
Indications
G
RIP
NOMBRES
• On nomme le premier programme:
• On nomme les sous-programmes (proc&eacute;dures):
FACT 1P.
- DIVISE1
- ECRAN
- PREMIER
- AFFICHE
Nom du programme
ECRAN
Nom du programme
FACT 1P
ClrText
&auml;
ClrText&auml;
&quot;---DECOMPOSITION----&quot;
&auml;
&quot;---DECOMPOSITION----&quot;&auml;
&quot;EN FACTEURS PREMIERS&quot;
&auml;
PREMIERS&quot;&auml;
&quot; &quot;
&auml;
&quot;&auml;
&quot;NOMBRE&quot;?&aacute;A
&auml;
&quot;NOMBRE&quot;?&aacute;A&auml;
Prog &quot;ECRAN&quot;
&auml;
&quot;ECRAN&quot;&auml;
2&aacute;N:0&aacute;–
&auml;
2&aacute;N:0&aacute;–&auml;
Prog &quot;DIVISE1&quot;
&auml;
&quot;DIVISE1&quot;&auml;
3&aacute;N
&auml;
3&aacute;N&auml;
Prog &quot;DIVISE1&quot;
&auml;
&quot;DIVISE1&quot;&auml;
5&aacute;N:2&aacute;M:&ugrave;2&aacute;J
&auml;
5&aacute;N:2&aacute;M:&ugrave;2&aacute;J&auml;
Do
&auml;
Do&auml;
Prog &quot;DIVISE1&quot;
&auml;
&quot;DIVISE1&quot;&auml;
N+M&aacute;N
&auml;
N+M&aacute;N&auml;
&ugrave;J&aacute;J
&auml;
&ugrave;J&aacute;J&auml;
M+J&aacute;M
&auml;
M+J&aacute;M&auml;
LpWhile N&AElig;•A
&auml;
N&AElig;•A&auml;
If A&uml;1
&auml;
A&uml;1&auml;
Then If –=1
&auml;
–=1&auml;
Then A&aacute;X:1&aacute;P
&auml;
A&aacute;X:1&aacute;P&auml;
Prog &quot;AFFICHE&quot;
&auml;
&quot;AFFICHE&quot;&auml;
Else Prog &quot;PREMIER&quot;
&auml;
&quot;PREMIER&quot;&auml;
&auml;
IfEnd
IfEnd&auml;
IfEnd
&auml;
IfEnd&auml;
Locate 19,1,&quot;FIN&quot;
ClrText
&auml;
ClrText&auml;
2&aacute;L:0&aacute;C
&auml;
2&aacute;L:0&aacute;C&auml;
Locate 1,1,&quot;A=&quot;
&auml;
1,1,&quot;A=&quot;&auml;
Locate 3,1,A
&auml;
3,1,A&auml;
For 2&aacute;Z To 7
&auml;
7&auml;
&auml;
Locate 11,Z,&quot;.&quot;
11,Z,&quot;.&quot;&auml;
Next
Ce sous-programme pr&eacute;pare l’&eacute;cran pour un affichage des facteurs premiers sur deux colonnes.
Nom du programme
PREMIER
Locate 1,2,&quot;---------------------&quot;
&auml;
1,2,&quot;---------------------&quot;&auml;
Locate 1,3,&quot;
EST PREMIER
&quot;
&quot;&auml;
&auml;
Locate 1,4,&quot;---------------------&quot;
Ce sous-programme affiche que le nombre est premier (quand
c’est la cas).
AFFICHE
Nom du programme
DIVISE1
0&aacute;P
&auml;
0&aacute;P&auml;
While Frac (A&sect;N)=0
&auml;
(A&sect;N)=0&auml;
N&aacute;X:P+1&aacute;P:1&aacute;W:1&aacute;–
&auml;
N&aacute;X:P+1&aacute;P:1&aacute;W:1&aacute;–&auml;
A&sect;N&aacute;A
&auml;
A&sect;N&aacute;A&auml;
WhileEnd
&auml;
WhileEnd&auml;
If W=1
&auml;
W=1&auml;
Then Prog &quot;AFFICHE&quot;
&auml;
&quot;AFFICHE&quot;&auml;
IfEnd
If L&gt;7
&auml;
L&gt;7&auml;
Then 2&aacute;L:11&aacute;C
&auml;
2&aacute;L:11&aacute;C&auml;
IfEnd
&auml;
IfEnd&auml;
Locate C+1,L,X
&auml;
C+1,L,X&auml;
Locate C+8,L,&quot;^&quot;
&auml;
C+8,L,&quot;^&quot;&auml;
Locate C+9,L,P
&auml;
C+9,L,P&auml;
1+L&aacute;L:0&aacute;W
Ce sous-programme affiche les uns sous les autres les facteurs
premiers sous la forme X^P. Quand les (7-1) lignes d’affichage de
la colonne de gauche sont prises, on passe &agrave; la colonne de droite
(L=2 ; C=11).
">

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